Ecuația de continuitate

În absența unei surse de masă, pentru un volum material $\tau$, masa conținută nu variază în timp, ceea ce înseamnă că

${\frac {d}{dt}}\int _{\tau }^{}\rho \,d\tau =0$

Dacă se consideră un volum de control oarecare fix $\tau *$, fluxul de masă care traversează suprafața $\sigma *$, ce înconjoară volumul $\tau *$, trebuie să se regăsească în variația masei volumului de control

$\int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau =\int _{\sigma *}^{}{\rho }{{\overrightarrow {V}}{\overrightarrow {n}}}\,d\sigma$

sau ținând seama de relația Gauss-Ostrogradski

$\int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau -\int _{\tau *}^{}{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}\,d\tau =0$

Deoarece nu s-a făcut nici o ipoteză asupra mărimii volumului $\tau *$, se poate face ca acesta să tindă spre zero, adică

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}=0$

care este ecuația de continuitate valabilă în oricare punct al spațiului fluid.

Tetra-curenți

Conservarea unui curent al unui fluid generalizat, care nu este neapărat un fluid de tip curent electromagnetic, este exprimată compact de operatorul divergență al covariantei Lorentz a unui tetra-curent

$J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)$

unde

c este viteza luminii

ρ este densitatea de sarcină

j este densitatea de curent convențională

a denumește dimensiunea spaţio-temporală

astfel încât

$\partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$

atunci

$\partial _{a}J^{a}=0$

ceea ce conduce la concluzia conservării curentului

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

Vezi și

• Operatorul $\nabla$
• Lege de conservare
• Echilibrul energetic al apei de suprafaţă
• Ecuaţiile lui Euler
• Ecuaţia lui Schrödinger
• Fluid incompresibil
• Funcţia densităţii de probabilitate