Sari la conținut

Anulator

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică anulatorul unei submulțimi S a unui modul⁠(d) peste un inel este idealul format din elementele inelului care dau întotdeauna zero atunci când sunt înmulțite cu oricare dintre elementele lui S.[1]

Peste un domeniu de integritate, un modul care are un anulator diferit de zero este un modul de torsiune⁠(d), iar un modul de torsiune finit generat⁠(d) are un anulator diferit de zero.

Definiția de mai sus se aplică și în cazul inelelor necommutative, unde anulatorul stâng al unui modul stâng este un ideal stâng, iar anulatorul drept, al un modul drept este un ideal drept.

Fie R un inel, iar M un R-modul stâng. Se alege o submulțime nevidă S din M. Anulatorul lui S, notat este mulțimea tuturor elementelor r din R astfel încât pentru toate s din S, rs = 0.[2] În notația folosită pentru mulțimi,

pentru toate

este mulțimea tuturor elementelor lui R care „anulează” S (elementele pentru care S este o mulțime de torsiune). Submulțimile de module drepte pot fi folosite și ele după schimbarea „sr = 0" în definiție.

Anulatorul unui singur element x se scrie de obicei în loc de [1] Dacă inelul R rezultă din context, indicele R poate fi omis.

Deoarece R este un modul peste el însuși, S poate fi considerată o submulțime a lui R însuși și întrucât R este atât un R drept, cât și unul stâng, notația trebuie modificată ușor pentru a indica partea stângă sau dreaptă. Dacă este nevoie de a distinge anulatorii stângi sau drepți se folosește și sau o schemă cu indici similară.

Dacă M este un R-modul și atunci M este numit modul fidel.

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]

Dacă S este o submulțime a unui R-modul stâng M, atunci Ann(S) este un ideal al lui R.

Dacă „S” este un submodul al lui M, atunci AnnR(S) este un ideal bilateral: (ac)s = a(cs) = 0, deoarece cs este un alt element al lui S.[3]

Dacă S este un submodul al lui M și N este submodulul lui M generat de S, atunci în general AnnR(N) este o submulțime a lui AnnR(S), dar nu sunt neapărat egale. Dacă R este comutativ, atunci egalitatea este valabilă.

M poate fi văzut și ca un modul R/AnnR(M) folosind acțiunea . De altfel, nu este întotdeauna posibil să se transforme un modul R într-un modul R/I în acest fel, dar dacă idealul I este o submulțime a anulatorului lui M, atunci această acțiune este bine definită. Considerat ca un modul R/AnnR(M), M este automat un modul fidel.

La inele comutative

[modificare | modificare sursă]

În această secțiune fie un inel comutativ și un -modul finit generat (pe scurt, finit).

Relația cu suportul

[modificare | modificare sursă]

Deoarece suportul unui modul este definit ca

când modulul este finit generat, există relația

,

unde este mulțimea idealelor prime conținând submulțimea.[4]

Șiruri exacte scurte

[modificare | modificare sursă]

Fiind dat șirul exact⁠(d) scurt de module

proprietatea suportului[5]

împreună cu relația cu anihilatorul implică

Mai precis, există relațiile

Module factor și anulatori

[modificare | modificare sursă]

Fie un ideal și un modul finit. Atunci pe suport există relația

Aceasta dă relația cu anulatorul[6]

Peste numerele întregi

[modificare | modificare sursă]

Peste orice modul finit generat este complet clasificat ca suma directă a părții sale libere cu partea sa de torsiune din teorema fundamentală a grupurilor abeliene. Atunci anulatorul unui modul finit este netrivial numai dacă este în întregime de torsiune. Asta deoarece

deoarece singurul element care anulează orice din este . De exemplu, anulatorul lui este

idealul generat de . De fapt, anulatorul unui modul de torsiune

este izomorf cu idealul generat de cel mai mic multiplu comun, . Acest lucru arată că anulatorii pot fi clasificați cu ușurință peste numerele întregi.

Peste un inel comutativ R

[modificare | modificare sursă]

De fapt, există un calcul similar care poate fi făcut pentru orice modul finit peste un inel comutativ . Definiția faptului că este finit implică existența unui șir corect, numit prezentare, dat de

unde este din . Scriind explicit ca o matrice se obține

deoarece are descompunerea sumei directe

dacă se scriu toate aceste ideale ca

atunci idealul dat de

prezintă anulatorul.

Peste inelul comutativ pentru un corp , anulatorul modulului

este dat de idealul

  1. ^ a b Aurelian Claudiu Volf, Aritmetica în inele (curs, p. 67), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-09
  2. ^ Pierce (1982), p. 23.
  3. ^ Pierce (1982), p. 23, Lemma b, item (i).
  4. ^ en „Lemma 10.39.5 (00L2)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu. Accesat în . 
  5. ^ en „Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu. Accesat în . 
  6. ^ en „Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu. Accesat în .