Sigma-algebră

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Considerăm mulțimea  \Omega . Notăm  \mathcal P(\Omega) mulțimea părților acesteia. Atunci o submulțime  \mathcal A a  \mathcal P(\Omega) , i.e.  \mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega) se numește "σ- Algebră" dacă:

1. Mulțimea de bază  \Omega \, este element al lui  \mathcal A  :

 \Omega \in \mathcal A .

2. Dacă   \mathcal A conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia  A^c = \Omega \setminus A  :

 A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A

3. Dacă un număr finit de mulțimi aparțin lui  \mathcal A , atunci și reuniunea acestora va fi element al lui  \mathcal A  :

 A_1, A_2, \dots \in \mathcal A  \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb {N}}{A_n} \in \mathcal A

Consecințe[modificare | modificare sursă]

  • Din condițiile 1 și 2 rezultă:
 \emptyset \in \mathcal A .
  • Dacă  A_n \in \mathcal A unde  n \in \mathbb{N} , atunci din legile lui De Morgan rezultă:
 \bigcap_{n \in \mathbb{N}}{A_n} = \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}}{{A^{\mathrm c}}} \right)^c .
  • De aici rezultă imediat că, dacă  A_1, A_2, \dots \in \mathcal A , atunci:
 \bigcap_{n \in \mathbb{N}}{A_n} \in \mathcal A .
  • Dacă  A, B \in \mathcal A atunci
 A \setminus B = A \cap B^{\mathrm c} \in \mathcal A .

Așadar,  \mathcal A este închisă în raport cu diferența mulțimilor.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • σ- algebră trivială (discretă):
 \mathcal A = \mathcal P (\Omega) .
  • σ - algebră grosieră:
 \mathcal A = \{\emptyset, \Omega \} .

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]