Versin

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Versin or sinus versus, versin(θ), este o funcție trigonometrică egală cu 1 − cos(θ). Funcția versin apare în câteva tabele trigonometrice timpurii fiind larg răspândită, dar în ziua de azi puțin folosită.

De asemenea mai se scrie ca vers(θ) or ver(θ). În Latină, este cunoscută ca sinus versus (sinus invers) sau sagitta (săgeata).

Funcții similare[modificare | modificare sursă]

Există alte șapte funcții similare:

  • Versed cosine, sau vercosin, scrisă \operatorname{vercosin}(\theta)
  • Coversed sine, sau coversin, scrisă \operatorname{coversin}(\theta) and sometimes abbreviated to \operatorname{cvs}(\theta)
  • Coversed cosine, sau covercosin, scrisă \operatorname{covercosin}(\theta)
  • Haversed sine, sau haversin, scrisă \operatorname{haversin}(\theta), foarte cunoscută ca haversine formula și istoric folosită în navigație
  • Haversed cosine, sau havercosin, scrisă \operatorname{havercosin}(\theta)
  • Hacoversed sine, numită și hacoversin sau cohaversin, scrisă \operatorname{hacoversin}(\theta)
  • Hacoversed cosine, numită și hacovercosin sau cohavercosin, scrisă \operatorname{hacovercosin}(\theta)

Altă funcție similară este exsecant.

Construcția funcției versin și funcții similare[modificare | modificare sursă]

Pentru o funcție trigonometrică f, definițiile de mai sus corespund relațiilor:


\begin{align}
\operatorname{verf}(\theta) &:=& 2\left(f\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^2 \\
\operatorname{cof}(\theta)  &:=& f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
\operatorname{haf}(\theta)  &:=& \frac{f(\theta)}{2} \\
\end{align}

Definiții[modificare | modificare sursă]

\textrm{versin} (\theta) := 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos (\theta) \, Versin plot.png
\textrm{vercosin} (\theta) := 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \, Vercosin plot.png
\textrm{coversin}(\theta) := \textrm{versin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) =  1 - \sin(\theta) \, Coversin plot.png
\textrm{covercosin}(\theta) := \textrm{vercosin}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) =  1 + \sin(\theta) \, Covercosin plot.png
\textrm{haversin}(\theta) := \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \, Haversin plot.png
\textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \, Havercosin plot.png
\textrm{hacoversin}(\theta) := \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \, Hacoversin plot.png
\textrm{hacovercosin}(\theta) := \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \, Hacovercosin plot.png

Derivate și Integrale[modificare | modificare sursă]

\frac{d}{dx}\mathrm{versin}(x) = \sin{x} \int\mathrm{versin}(x) \,dx = x - \sin{x} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{vercosin}(x) = -\sin{x} \int\mathrm{vercosin}(x) \,dx = x + \sin{x} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x} \int\mathrm{coversin}(x) \,dx = x + \cos{x} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{covercosin}(x) = \cos{x} \int\mathrm{covercosin}(x) \,dx = x - \cos{x} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{haversin}(x) = \frac{\sin{x}}{2} \int\mathrm{haversin}(x) \,dx = \frac{x - \sin{x}}{2} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{havercosin}(x) = \frac{-\sin{x}}{2} \int\mathrm{havercosin}(x) \,dx = \frac{x + \sin{x}}{2} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{hacoversin}(x) = \frac{-\cos{x}}{2} \int\mathrm{hacoversin}(x) \,dx = \frac{x + \cos{x}}{2} + C
\frac{d}{dx}\mathrm{hacovercosin}(x) = \frac{\cos{x}}{2} \int\mathrm{hacovercosin}(x) \,dx = \frac{x - \cos{x}}{2} + C

Istorie și aplicații[modificare | modificare sursă]

Istoric, sinus versus a fost considerată una din cele mai importante funcții trigonometrice, dar în timpurile moderne a scăzut în popularitate datorită calculatoarelor de mână și computerelor. Când θ tinde către zero, versin(θ) este diferența dintre două cantități foarte apropiate, deci, un utilizator al tabelului funcției cosinus are nevoie de o mare acuratețe pentru a obține funcția versin, fiind nevoit să facă tabele separate corespunzătoare. Chiar și cu calculatoarele moderne este de preferat ca pentru unghiuri θ mici să se folosească sin2. Un alt avantaj istoric al funcției versin este acela că întotdeauna este pozitivă, deci logaritmul funcției este definit pe tot domeniul cu excepția unghiurilor (θ = 0, 2π,...) unde este zero— astfel că putem folosi tabelele logaritmice pentru înmulțiri în formulele care implică versin.

În particular, funcția haversin a fost importantă în navigație deoarece apare în formula haversin, care este folosită pentru calculul precis al distanțelor pe sferă atunci când sunt date pozițiile unghiulare, adică longitudinea și latitudinea. Aparent, termenul haversin, a fost născocit în textele de navigație doar pentru acest tip de aplicații (vezi referințele).

De fapt, cel mai vechi tabel care a supraviețuit, din secolele patru – cinci a perioadei Siddhantas din India, a fost un tabel de valori numai pentru sinus și sinus versus (între 0 și 90° cu increment de 3.75°) (Boyer, 1991). Acest lucru este, poate, chiar mai surprinzător având în vedere că versin apare ca un pas intermediar în aplicarea formulei unghiului pe jumătate sin2(θ/2) = versin(θ)/2, obținută de Ptolemeu, și folosită pentru a construi astfel de tabele.

Sinus, cosinus şi versin funcţie de θ în termenii cercului unitate, centrat în O

Ca și pentru sinus, etimologia derivată din secolul al 12-lea a transcris greșit cuvântul sanscrit jiva via limba arabă. Pentru a contrasta cu sinus versus, funcția sinus a fost numită câteodată sinus rectus sau sin vertical. Sensul acestor termeni poate fi determinat dacă ne uităm la funcții în contextul lor original de definire (cercul unitate din dreapta). Pentru coarda verticală AB din cercul unitate, sinusul unghiului θ este distanța AC (jumătare din coardă). Pe de altă parte, sinus versus de θ este distanța CD de la centrul corzii la centrul arcului. Astfel, suma cos(θ) = OC și versin(θ) = CD este egală cu raza cercului OD = 1. În acest fel, sinusul este vertical (rectus) în timp ce versin este orientat pe latura sa (versus); amândouă fiind distanțe de la C la cerc.

Figura alăturată arată de asemenea motivul pentru care, uneori, versin a fost numită sagitta (săgeata), în arabă sahem cu aceeași semnificație. Dacă arcul ADB este văzut ca arma numită arc, iar coarda AB drept coarda lui, atunci versin CD este clar săgeata lui.

Mai mult, ținând de interpretarea lui sinus ca "vertical" și sinus versus ca "horizontal", 'săgeata este un sinonim ieșit din uz pentru abscisă.

Funcția versin din primul cadran (0 < θ < π/2), sau haversin, sunt de asemenea folosite în mod obișniut în procesarea semnalelor și teoria controlului ca formă a unui semnal pulsatoriu sau a unei funcții fereastră, deoarece funcția continuă este netedă ca valoare și pantă, iar valoarea ei pleacă din zero, ajunge la unu și se reîntoarce iar în zero (haversin).

"Versinus" pentru curbe arbitrare și corzi[modificare | modificare sursă]

Termenul de versin este folosit câteodată pentru a descrie deviația de la rectiliniaritate a unei curbe arbitrare plane, pentru care cercul de mai sus este un caz special. Fiind dată o coardă între două puncte ale unei curbe, distanța perpendiculară v de la coardă la curbă (uzual la mijlocul corzii) se numește măsura versin. Pentru o linie dreaptă, versinul oricărei corzi este zero, deci aceasta este măsura care caracterizează rectiliniaritatea unei curbe. La limită când lungimea corzii tinde la zero, raportul 8v/L2 tinde către curbura instantanee a curbei. Acest lucru este deosebit de util în transportul feroviar în care descrie măsura rectiliniarității liniei ferate (Nair, 1972) și este baza de calcul din metoda Hallade pentru controlul liniei. Termenul sagitta este folosit și în optică pentru a descrie suprafața lentilelor și a oglinzilor.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Referințe[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]