Identități trigonometrice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Toate funcţiile trigonometrice de unghi θ pot fi construite geometric în termenii cercului unitate cu centrul în  O. Multe dintre aceste funcţii nu mai sunt folosite.
Sinusul & Cosinusul în jurul cercului unitate

În matematică, identitațile trigonometrice sunt egalități care implică funcții trigonometrice și sunt adevărate pentru fiecare unică valoare a variabilei care apare. Geometric, acestea sunt identități care implică funcții de unul sau mai multe unghiuri. Acestea sunt distincte de identitățile triunghiurilor, care implică atât unghiurile cât și laturile triunghiului. Acest articol acoperă doar indentitățile trigonometrice.

Aceste identități sunt folositoare acolo unde apar expresii care implică funcții trigonometrice, care trebuie să fie simplificate. O aplicație importantă este aceea a integralelor care nu conțin funcții trigonometrice, dar care implică folosirea acestor funcții prin aplicarea metodei substituției variabilelor, iar apoi simplificând integrala rezultantă prin identitățile trigonometrice.

Cuprins

Notații[modificare | modificare sursă]

Unghiuri[modificare | modificare sursă]

În general, pentru notația unghiurilor se folosesc literele grecești, precum alpha (α), beta (β), gamma (γ), theta (θ), etc. Sunt larg răspândite câteva modalități de măsurare a unghiurilor care folosesc unități de măsură precum radiani, grade sexagesimale și grade centezimale.

unghiul la centru corespunzător unui cerc întreg  = 360  grade = 2\pi radiani  =  400 grade centezimale.

Următorul tablou arată conversiile pentru câteva unghiuri uzuale:

grade 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radiani \frac\pi6 \frac\pi3 \frac{2\pi}3 \frac{5\pi}6 \frac{7\pi}6 \frac{4\pi}3 \frac{5\pi}3 \frac{11\pi}6
grade cent 33⅓ grd c 66⅔ grd c 133⅓ grd c 166⅔ grd c 233⅓ grd c 266⅔ grd c 333⅓ grd c 366⅔ grd c
grade 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radiani \frac\pi4 \frac\pi2 \frac{3\pi}4 \pi\, \frac{5\pi}4 \frac{3\pi}2 \frac{7\pi}4 2\pi\,
grade cent 50 grd c 100 grd c 150 grd c 200 grad 250 grd c 300 grd c 350 grd c 400 grad

Dacă nu se specifică altfel, toate unghiurile din acest articol sunt date în radiani, iar unghiurile care se termină prin simbolul (°) sunt date în grade sexagesimale.

Funcții trigonometrice[modificare | modificare sursă]

Funcțiile trigonometrice primare sunt sinusul și cosinusul unui unghi. Acestea sunt câteodată abreviate sin(θ) și cos(θ), θ fiind unghiul, dar de multe ori parantezele din jurul unghiului sunt omise, scriindu-se sin θ și cos θ.

Tangenta, notată tg sau tan, unui unghi este raportul dintre sinus și cosinus:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.

În final putem defini funcțiile reciproce, respectiv, secanta (sec) pentru cosinus, cosecanta (cosec sau csc) pentru sinus și cotangenta (ctg sau cot) pentru tangentă:

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Funcții trigonometrice inverse[modificare | modificare sursă]

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții inverse parțiale ale funcțiilor trigonometrice. De exemplu, inversa funcției sinus, cunoscută ca inverse sine (sin−1) sau arcsine (arcsin or asin), satisface formula:

\sin(\arcsin x) = x\!

iar

\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{pentru }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.

În acest articol sunt folosite următoarele notații pentru funcțiile trigonometrice inverse:

Funcția sin cos tan sec csc cot
Funcția inversă arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

Identitatea lui Pitagora[modificare | modificare sursă]

Relația de bază dintre sinus și cosinus este identitatea trigonometrică a lui Pitagora:

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!

Aceasta poate fi văzută ca o versiune a teoremei lui Pitagora și se deduce din ecuația x2 + y2 = 1 pentru cercul unitate. Această ecuație poate fi rezolvată fie pentru sinus, fie pentru cosinus:

\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{și} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \,

Identități similare[modificare | modificare sursă]

Divizând identitatea Pitagoreană prin cos2 θ sau sin2 θ obținem alte două identități:

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{și}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!

Folosind aceste identități împreună cu identitățile de rapoarte, putem exprima orice funcție trigonometrică în funcție de alte funcții trigonometrice (cu excepția semnului plus sau minus):

Fiecare funcție trigonometrică este dată în funcție de celelalte cinci.[1]
   \sin \theta =    \sin \theta\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\ \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\    \frac{1}{\csc \theta}\ \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\
   \cos \theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\    \cos \theta\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\    \frac{1}{\sec \theta}\ \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\
   \tan \theta = \pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\    \tan \theta\ \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\ \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\    \frac{1}{\cot \theta}\
   \csc \theta =    \frac{1}{\sin \theta}\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\    \csc \theta\ \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\ \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\
   \sec \theta = \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\    \frac{1}{\cos \theta}\ \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\ \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\    \sec \theta\ \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\
   \cot \theta = \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\ \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\    \frac{1}{\tan \theta}\ \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\ \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\    \cot \theta\

Scurt istoric[modificare | modificare sursă]

Funcțiile versin, coversin, haversin și exsecant au fost folosite în navigație. De exemplu formula haversin-ului a fost folosită pentru a calcula distanța dintre două puncte de pe sferă. În ziua de azi au ieși din uz și sunt foarte rar folosite.

Name(s) Abbreviation(s) Value [2]
versed sine, versin \operatorname{versin}(\theta)
\operatorname{vers}(\theta)
\operatorname{ver}(\theta)
1 - \cos (\theta)\!
versed cosine, vercosin \operatorname{vercosin}(\theta) 1 + \cos (\theta)\!
coversed sine, coversin \operatorname{coversin}(\theta)
\operatorname{cvs}(\theta)
1 - \sin(\theta)\!
coversed cosine, covercosin \operatorname{covercosin}(\theta) 1 + \sin(\theta)\!
haversed sine, haversin \operatorname{haversin}(\theta) \frac{1 - \cos (\theta)}{2}
haversed cosine, havercosin \operatorname{havercosin}(\theta) \frac{1 + \cos (\theta)}{2}
hacoversed sine, hacoversin
cohaversine
\operatorname{hacoversin}(\theta) \frac{1 - \sin (\theta)}{2}
hacoversed cosine, hacovercosin
cohavercosine
\operatorname{hacovercosin}(\theta) \frac{1 + \sin (\theta)}{2}
exterior secant, exsecant \operatorname{exsec}(\theta) \sec(\theta) - 1 \!
exterior cosecant, excosecant \operatorname{excsc}(\theta) \csc(\theta) - 1 \!
coardă \operatorname{crd}(\theta) 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)

Simetrie, deplasare și periodicitate[modificare | modificare sursă]

Prin examinarea cercului unitate, se pot stabili următoarele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice.

Simetria[modificare | modificare sursă]

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt ciclice pentru unghiuri, rezultatul este adesea o altă funcție trigonometrică. Acest lucru conduce la următoarele identități:

Ciclic în \theta=0 [3] Ciclic în \theta= \pi/2
(identitate co-funcție)[4]
Ciclic în \theta= \pi

\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}

Deplasare și periodicitate[modificare | modificare sursă]

Deplasând funcția cu un anumit unghi, adesea este posibil să obținem o funcție trigonometrică diferită care exprimă rezultatul mult mai simplu. Sunt arătate câteva exemple de funcții deplasate cu π/2, π și 2π radiani. Deoarece perioada acestor funcții este π sau 2π, sunt cazuri în care noua funcție este exact aceeași ca cea veche, dar fără deplasare.

Deplasare π/2 Deplasare π
Periodică pentru tan și cot[5]
Deplasare 2π
Periodică pentru sin, cos, csc și sec[6]

\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}

Identități ale sumei și diferenței unghiurilor[modificare | modificare sursă]

Ele au fost stabilite pentru prima dată în secolul al 10-lea de matematicianul persan Abū al-Wafā' Būzjānī. O metodă de a demonstra aceste identități este aceea de a aplica formula lui Euler.

Sinus \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,[7][8]
Cosinus \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,[8][9]
Tangentă \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}[8][10]
Arcsinus \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})[11]
Arccosinus \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})[12]
Arctangentă \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)[13]

Forma matricială[modificare | modificare sursă]

Formulele sumei și diferenței pentru sinus și cosinus pot fi scrise sub formă matricială:


\begin{align}
& {} \quad
\left(\begin{array}{rr}
  \cos\phi    & -\sin\phi  \\
  \sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}
  \cos\theta    & -\sin\theta  \\
  \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
  \cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta  & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta  \\
  \sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta 
\end{array}\right) \\[12pt]
& = \left(\begin{array}{rr}
  \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
  \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{array}\right)
\end{align}

Suma Sinusului și a Cosinusului pentru o infinitate de unghiuri[modificare | modificare sursă]

 \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{odd}\  k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)
 \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)

În aceste două identități apare o asimetrie care nu apare în cazul sumării unui număr finit de unghiuri. În fiecare produs, există numai factori sinus finiți și factori cosinus cofiniți.


Tangenta sumei mai multor unghiuri[modificare | modificare sursă]

Fie ek (pentru k ∈ {0, ..., n}) polinomul simetric elementar de grad k în variabilele:

x_i = \tan \theta_i\,

pentru i ∈ {0, ..., n}, adică:


\begin{align}
e_0 & = 1 \\[6pt]
e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \tan\theta_i \\[6pt]
e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]
e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\
& {}\  \ \vdots & & {}\  \  \vdots
\end{align}

Atunci

\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},

numărul de termeni depinzând de n.

De exemplu:

 \begin{align}
\tan(\theta_1 + \theta_2) &
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
= \frac{ \tan\theta_1 + \tan\theta_2 }{ 1 \ - \ \tan\theta_1 \tan\theta_2 }
,
\\ \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) },
\\ \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ &
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) },
\end{align}

și așa mai departe. Cazul general poate fi demonstrat prin inducție matematică.

Secanta sumei mai multor unghiuri[modificare | modificare sursă]

 \sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}

în care ek este polinomul simetric elementar de grad k de n variabile xi = tan θi, i = 1, ..., n, iar numărul de termeni ai numitorului depind de  n.

De exemplu,

 \sec(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma }.

Formula unghiurilor multiple[modificare | modificare sursă]

Tn este polinomul Cebîșev de grad n \cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,  [14]
Sn este polinomul de dispersie de grad n \sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,
Formula lui Moivre, i este unitatea imaginară \cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,    [15]
1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

Această funcție de x fiind nucleul lui Dirichlet.

Formulele unghiurilor duble, triple și pe jumătate[modificare | modificare sursă]

Aceastea pot fi obținute fie din identitățile sumei și diferenției, sau din formulelor unghiurilor multiple:

Formula unghiului dublu[16][17]
\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\, \cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\,
Formula unghiului triplu[14][18]
\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta \, \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \, \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} \cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}
Formula unghiului pe jumătate[19][20]
\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \end{align} \begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}

Faptul că formula unghiului triplu pentru sinus și cosinus implică puterile aceleiași funcții permite să se facă legătura dintre trisecția unghiului cu rigla și compasul cu rezolvarea ecuației cubice, arătând că acest lucru este în general imposibil.

Există o formulă de calcul a identității trigonometrice pentru unghiul triplu, dar acesta cere găsirea rădăcinilor pentru ecuația cubică x^3 - \frac{3x+d}{4}=0, în care x este valoarea necunoscută a funcției sinus a unghiului, iar d este valoarea cunoscută a funcției sinus pentru unghiul triplu. Oricum, discriminantul acestei ecuații este negativ, deci ecuația are trei rădăni reale din care numai una este soluța căutată, dar niciuna din soluții nu este reductibilă la o expresie algebrică reală, astfel că, se folosesc numere complexe intermediare ale rădăcinii cubice, care se pot exprima numai prin termenii reali ai funcțiilor, folosind funcții hiperbolice.

Sinus, cosinus și tangenta unghiurilor multiple[modificare | modificare sursă]

Pentru unghiuri multiple specifice, acestea rezultă din formulele specifice de adunare a unghiurilor, în timp ce formula generală a fost găsita de matematicianul francez Vieta.

\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)
\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

tan  poate fi scrisă în funcție de tan θ folosind relația de recurență:

\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.

iar cot  poate fi scrisă în funcție de cot θ folosind relația de recurență:

\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.

Metoda Cebîșev[modificare | modificare sursă]

Metoda Cebîșev este un algoritm recursiv pentru a afla formula unghiului multiplu nth cunoscând formulele pentru(n − 1)th și (n − 2)th.[21]

Cosinusul pentru nx poate fi calculat din cosinusul pentru (n − 1) și (n − 2) după cum urmează:

\cos nx = 2 \cdot \cos x \cdot \cos (n-1) x - \cos (n-2) x \,

Similar sin(nx) poate fi calculat din sinusul pentru (n − 1)x și (n − 2)x:

\sin nx = 2 \cdot \cos x \cdot \sin (n-1) x - \sin (n-2) x \,

Pentru tangentă, avem:

\tan nx = \frac{\tan (n-1)x +  \tan x}{1- \tan (n-1)x \tan x} \,


Tangenta mediei[modificare | modificare sursă]

 \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}

Setând α sau β cu 0 găsim formula uzuală a tangentei unghiului pe jumătate.

Produsul infinit al lui Viète[modificare | modificare sursă]

 \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta.

Formulele puterilor[modificare | modificare sursă]

Se obțin rezolvând versiunile a doua și a treia a formulelor cosinusului unghiului dublu.

Sinus Cosinus Altele
\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}
\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4} \cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4} \sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}
\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8} \cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8} \sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}
\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16} \cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16} \sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}

iar termenii generali al puterilor funcțiilor sin θ sau cos θ sunt (pot fi deduși din formula lui Moivre, formula lui Euler sau binomul lui Newton).

Cosinus Sinus
\text{Dacă }n\text{ este impar} \cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}
\text{Dacă }n\text{ este par} \cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}

Identitățile produselor prin sumă și al sumelor prin produse[modificare | modificare sursă]

Indentitățile produsului prin sumă pot fi demonstrate prin aplicarea formulelor de adunare și scădere a unghiurilor.

Produsul prin sumă[22]
\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}
\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}
Suma prin produs[23]
\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)
\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)
\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)

Alte identități similare[modificare | modificare sursă]

Dacă x, y și z sunt cele trei unhiuri ale oricărui triunghi, sau cu alte cuvinte:

\text{dacă } x + y + z = \pi \,
\text{atunci: }\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z).\,

Dacă oricare unghi x, y sau z este un unghi de 90°, ambele părți ale egalului sunt infinite, dar nu sunt nici +∞ nici -∞. Pentru scopul actual are sens doar adăugarea punctului de la infinit de pe axa reală, abordată de tan(θ) drept tan(θ), fie prin valori pozitiv crescătoare, fie prin valori negativ descescătoare. Aceasta este compactificarea topologică a axei reale.

\text{dacă } x + y + z = \pi \,
\text{atunci: } \sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,

Identitatea cotangentă a lui Hermite[modificare | modificare sursă]

Charles Hermite a demonstrat următoarea identitate.[24] Presupunând că a1, ..., an sunt numere complexe, fară ca două din ele să difere printr-un multiplu întreg al lui  π. Fie

 A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \cot(a_k - a_j)

(în particular, A1,1, fiind un produs vid este 1). Atunci

 \cot(z - a_1)\cdots\cot(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \cot(z - a_k).

Cel mai simplu și netrivial exemplu este cazul  n = 2:

 \cot(z - a_1)\cot(z - a_2) = -1 + \cot(a_1 - a_2)\cot(z - a_1) + \cot(a_2 - a_1)\cot(z - a_2) \,

Teorema lui Ptolemu[modificare | modificare sursă]

 \text{Dacă } w + x + y + z = \pi \,
\begin{align} \text{atunci }
&     \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}

A patra identitate este teorema lui Ptolemeu adaptată limbajului trigonometric.

Combinații liniare[modificare | modificare sursă]

Din anumite puncte de vedere este important să știm că orice combinație liniară a undelor sinusoidale cu aceeași perioadă sau frevență, dar defazată, este de asemenea o undă sinusoidală cu aceeași perioadă sau frecvență, dar cu alt defazaj. În cazul unei combinații liniare de unde sinus și cosinus[25] (cosinus care este de fapt tot sinus dar defazat cu π/2), avem:


a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,

în care:


\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{dacă  }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{dacă  }a < 0,
\end{cases}

sau echivalent


\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ dacă  }a \ge 0, \\
\pi & \text{ dacă  }a < 0.
\end{cases}

Mai general, pentru un defazaj arbitrar, avem

a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,

în care:

c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,

iar


  \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{ dacă  } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{ dacă  } a + b\cos \alpha < 0.
\end{cases}


Alte sume ale funcțiilor trigonometrice[modificare | modificare sursă]

Suma sinusurilor și a cosinusurilor cu argumente în progresie aritmetica [26]:

\sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} +\ 
\cdots\ + \sin{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
\cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} +\ 
\cdots\  + \cos{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.

Pentru orice a și b:

a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;

în care atan2(y, x) este generalizarea funcției arctan(y/x) care acoperă întreaga circumferință a cercului.

\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).

Această identitate este convenabilă uneori când ne gândim la gudermannian, care leagă funcțiile trigonometrice de cele hiperbolice fără a recurge la numerele complexe.

Dacă x, y și z sunt trei unghiuri ale oricărui triunghi, adică x + y + z = π, atunci

\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,

Câteva transformări de funcții raționale liniare[modificare | modificare sursă]

Dacă ƒ(x) este o funcție rațională liniară

 f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},

și similar

 g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},

atunci

 f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}.

Mai concis, dacă pentru toți α avem ƒα ceea ce numim funcța ƒ de mai sus, atunci:

 f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \,

Dacă x este panta unei drepte, atunci ƒ(x) este panta rotației ei printr-un unghi −α.

Funcțiile trigonometrice inverse[modificare | modificare sursă]

 \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;
 \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;
\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\  -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.

Structura funcțiilor trigonometrice și a inverselor lor[modificare | modificare sursă]

\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

Legătura cu funcția exponentială complexă[modificare | modificare sursă]

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,[27] (formula lui Euler),
e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,
e^{i\pi} = -1 \, (identitatea lui Euler),
\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;[28]
\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;[29]

și prin urmare corolarul:

\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

în care i^2 = -1 \,.

Formula produsului infinit[modificare | modificare sursă]

Cu aplicații la funcții speciale, sunt folositoare următoarele produse infinite pentru funcțiile trigonometrice:[30][31]

\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)
\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}

Identități care nu au variabile[modificare | modificare sursă]

Identități curioase

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}

este un caz special al unei identități care conține o variabilă:

\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.

O identitate similară este:

 \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8},

precum și:

\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.

Similar:

\tan 50^\circ\cdot\tan 60^\circ\cdot\tan 70^\circ=\tan 80^\circ.


Următoarea probabil că nu este cu adevărat o generalizare a unei identități care să conțină o variabilă (vezi explicația de mai jos):

\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.

Dacă se consideră următoarea identitate, cu unghiurile măsurate în radiani și având valoarea 21 la numitor, obținem:

 \cos\left(      \frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 
  \,+\, \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.

Factorii 1, 2, 4 ,5 8 și 10 sunt intregi mai mici decât 21/2 și nu au factori comuni cu numarul 21.

Calculul lui π[modificare | modificare sursă]

O cale eficientă de a calcula pe π se bazează pe următoarea identitate fără variabile, datorată lui John Machin:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

sau, alternativ, folosind identitatea lui Leonhard Euler:

\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.

Un mnemonic folositor pentru câteva valori ale sinusului și cosinusului[modificare | modificare sursă]

Pentru câteva unghiuri simple, sinusul și cosinusul iau forma \scriptstyle\sqrt{n}/2 pentru 0 ≤ n ≤ 4, care sunt ușor de memorat.


\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ &  =  & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\  \\
\sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 
\end{matrix}

Colecție[modificare | modificare sursă]

Raportul de aur φ:

\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}
\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}

Vezi și constante trigonometrice exacte.

Calcul[modificare | modificare sursă]

În calculul diferențial relațiile de mai jos cer ca unghiurile să fie măsurate în radiani. Dacă funcțiile trigonometrice sunt definite în termeni geometrici, derivatele lor pot fi găsite prin verificarea a doua limite. Prima este:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,

Verificabilă prin folosirea circului unitate. De asemenea se poate aplica regula lui L'Hopital: derivata sin x este cos x, iar derivata lui x este 1, deci găsim ușor limita știind că cos 0 = 1. A doua limită este:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,

Verificabilă folosind tot regula lui L'Hopital. Dacă sinus și cosinus sunt definite prin seriile lor Taylor, atunci derivatele pot fi găsite prin diferențierea termen cu termen a seriilor de puteri.

{d \over dx}\sin x = \cos x

Restul funcțiilor trigonometrice pot fi diferențiate folosind identitatea de mai sus și regulile de derivare:[32][33][34]


\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x          ,& {d \over dx} \arcsin x & =  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x         ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \tan x & = \sec^2 x        ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x       ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x   ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}   \\  \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x  ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}

Identitățile integrale pot fi găsite în "Lista integralelor funcțiilor trigonometrice". Câteva forme generice sunt listate mai jos:

\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C


Implicații[modificare | modificare sursă]

Faptul că diferențierea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus rezultă din combinații liniare ale acelorași două funcții este de importanță fundamentală în multe domenii ale matematicii, precum ecuațiile diferențiale și transformata Fourier.

Definire prin exponențială[modificare | modificare sursă]

Funcție Inversa funcției[35]
\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \, \arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,
\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \, \arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \, \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,
\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,
\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \, \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,

Diverse[modificare | modificare sursă]

Nucleul lui Dirichlet[modificare | modificare sursă]

Nucleul lui Dirichlet Dn(x) este funcția care apare în ambele părți ale următoarei identități:

1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) = \frac{ \sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\rbrack }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) }.

Convoluția oricărei funcții integrable de perioadă 2π cu nucleul lui Dirichlet coincide cu funcția de gradul n din aproximarea Fourier. Același lucru este valabil pentru orice funcție generalizată.

Extensii ale formulei unghiului pe jumătate[modificare | modificare sursă]

Dacă facem schimbarea de variabilă:

t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),

atunci[36]

\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ ; }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ ; }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}

în care e^{i x} = \cos(x)+i\sin(x)

Aceste substituții sunt folositoare la transformarea funcțiilor sinus și cosinus în funcții raționale de t, pentru a găsi primitivele integralelor.

Vezi și[modificare | modificare sursă]


Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
  3. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  4. ^ The Elementary Identities
  5. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  6. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  7. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  8. ^ a b c Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas la MathWorld.
  9. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  10. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  11. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  12. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  13. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  14. ^ a b Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas la MathWorld.
  15. ^ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
  16. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  17. ^ Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas la MathWorld.
  18. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
  19. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  20. ^ Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas la MathWorld.
  21. ^ Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
  22. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
  23. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
  24. ^ Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327
  25. ^ Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf
  26. ^ Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression
  27. ^ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
  28. ^ Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
  29. ^ Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
  30. ^ Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
  31. ^ Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
  32. ^ Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
  33. ^ Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
  34. ^ Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic. Glenview, Illinois: Prentice Hall. pp. 159–161. ISBN 0-13-063131-0 
  35. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
  36. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

Referințe[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]