Pătrat magic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de n² numere într-un pătrat, în așa fel încât toate numerele n din aceeași coloană, rând sau diagonală să dea adunate aceeași constantă. Un pătrat magic normal conține întregii de la 1 la n²

Pătrate magice exista pentru toate ordinele n ≥ 1 în afară de n = 2, deși cazul de ordine n = 1 este trivial - Consistă dintr-o singură celulă conținând numărul 1. Cel mai mic caz nontrivial, arătat dedesubt, este de ordinul 3.

MagicSquare-ExplicitSums.png

Introducere[modificare | modificare sursă]

Să considerăm progresia aritmetică 1, 2, 3, 4, ... 36 (pătrat de ordinul 6) și să dispunem numerele în două rânduri in zig-zag:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Aceasta rezultă în faptul că orice pereche de numere aliniate vertical dă aceeași suma, știind că cu cât ne-am deplasat înainte în coloane, cu atât numerele de sus cresc cu o unitate, pe când cele de jos scad. Suma în toate cazurile este aceea a extremelor:

n^2+1 = 36+1 = 37

Dacă aranjăm ansamblul numerelor în șase randuri:

1 2 3 4 5 6
12 11 10 9 8 7
13 14 15 16 17 18
24 23 22 21 20 19
25 26 27 28 29 30
36 35 34 33 32 31

Cum se poate vedea, suma în diferitele coloane este necesar egală, fiind că numerele sunt grupate în perechi ca și în primul caz (se pot compara perechile de rânduri 1ª-6ª, 2ª-5ª și 3ª-4ª cu dispunerea originală). Acum oarecum, cele trei perechi de coloane fiind (n/2), suma va fi:

M_2(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}

ceea ce se numește constanta magică, care în cazul nostru este de n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Ordinea n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
M 2(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36

Sare în ochi ca pătratul precedent nu este un pătrat magic, pentru că aranjând numerele de manieră consecutivă, sumele cifrelor din fiecare rând cresc de fiecare dată. Oricum am găsit șase serii de numere între 1 și 36, a căror sumă, fară să se repete niciunul, este constanta magică. Dacă în loc de dispunerea precedentă plasăm numerele în ordine consecutivă, obținem o dispunere în care numerele din diagonala principala pot fi scrise sub forma (a-1)×n + a.

Calculând suma, știm că rândurile a merg de la 1 la n:

\sum_{a=1}^n (a-1){n}+a = (n+1)\sum_{a=1}^n a -\sum_{a=1}^n n = (n+1)\frac{n(1+n)}{2} - n^2=\frac{n^3+2n^2+n-2n^2}{2}=\frac{n(n^2+1)}{2}

Din nou constanta magică. Mai mult, orice serie de șase valori în care nu sunt două din același rând sau din aceeași coloană se va aduna să formeze constanta magică. Scriind termenul i, j al matricei ca (i-1)×n + j și luând șase termeni oarecare ci condiția ca nici i, nici j să se repete, și să varieze de la 1 la n, ecuația rezultând este aceeași ca și în cazul anterior și suma, în consecință, constanta magică.

Cum se și poate demonstra, contiatea de serii posibile de n numere care îndeplinesc condiția anterioară este n !, 720 în pătrate de ordinea 6, și nici chiar toate sunt posibile, fiind dat că am obținut șase care nu sunt incluse printre ele. Prin definiție, diind posibil să se construiască (n²) ! matrice în care nici un termen să nu se repete și în care să existe cel puțin n ! (de fapt mult mai multe) combinații de numere care se adună să formeze constanta magică, se înțelege intuitiv că ce ar fi magic despre pătrat este că cu atâtea posibilități era imposibil să construiască un pătrat magic.

De ordinea 3 există doar un pătrat magic (variațiile diferite se pot obține prin rotație sau oglindire), în 1693 Bernard Frénicle de Bessy a stabilit că există 880 pătrate magice de ordinea 4 [1], posterior se gasiseră 275.305.334 pătrate magice de ordinea 5; numarul de pătrate magice de o ordine mai mare este necunoscut, dar după estimațiile lui Klaus Pinn și ale lui C. Wieczerkowski realizate în 1998 cu ajutorul metodelor lui Monte Carlo și ale mecanicii statistice există (1,7745 ± 0,0016) × 1019 pătrate de ordinea 6 și (3,7982 ± 0,0004) × 1034 de ordinea 7.

În ceea ce privește ordinele inferioare, este evident că de ordinul unu există numai un pătrat magic,   1   , iar de ordinul 2 nu există niciunul, ceea ce poate fi demonstrat în figura pătratului magic a, b, c, d; pentru ca această dispoziție să fie un pătrat magic ar fi trebuit să se îndeplinească urmatoarele ecuații (M fiind constanta magică sau orice altă cantitate, dacă este dorită):

a b
c d
a + b = M
a + c = M
a + d = M
b + c = M
b + d = M
c + d = M

scriind sistemul de ecuații de manieră matricială și căutând ordinul matricei de coeficienți, se obține că este trei, pe când numărul de necunosute este patru, de așa fel încât sistemul să aibă doar soluția trivială a = b = c = d = M/2, fiind imposibil să se construiască un pătrat magic în care cele patru cifre să fie distincte.

Fișier:Pătrat-magic-Lo-Shu.png

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilat prin Bao Yunlong în secolul al XIII-lea,
ediția Dinastiei Ming, 1457-1463.

Biblioteca Congresului S.U.A.

Istorie[modificare | modificare sursă]

4 9 2
3 5 7
8 1 6

În China antică, se cunoșteau pătratele magice încă din Mileniul al III-lea î.Hr., după cum atestă Lo Shu. După legendă, într-o bună zi se devărsă un râu; oamenii, înfricoșați, încercară să aducă o ofrandă zeilor râului Lo (unul din cele devărsate) pentru a-i calma furia. Totuși, de fiecare dată cand făceau aceasta, apărea o broască țestoasă care încercuia ofrandele fără să le accepte, până când un băiat își dădu seama de marcajele speciale de pe carapacea ei și așa putură să ofere cantitatea cerută (15), și să mulțumească zeul, care readuse apele la nivelul lor. Au cunoscut și combinații de această clasă indienii, arabii, egiptenii și grecii. La pătrate asemănatoare, diferitele culturi au atribuit proprietăți astrologice și divinatorii variate, fiind de numeroase ori marcate în talismane. Așa cum reia Cornelius Agrippa în Despre filozofia ocultă III (1533), pătratul de ordinul trei(15) era consacrat zeului Saturn, cel de patru(34) lui Jupiter, cel de cinci(65) lui Marte, cel de șase(111) Soare, cel de șapte(175) lui Venus, cel de opt(260) lui Mercur și cel de nouă(369)Lunei; o atribuție similară se poate găsi în astrologia hindusă.

Introducerea pătratelor magice în occident se poate atribui lui Emanuel Moschopoulos, în jurul secolului al XVI-lea, autorul unui manuscris în care pentru prima oară au fost explicate câteva metode pentru a le construi. Mai târziu, studiul proprietaților acestor pătrate a atras atenția unor mari matematicieni, care au dedicat subiectului câteva opere chiar cu toată inutilitatea practică a pătratelor magice. Printre ei se pot cita Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle de Bessy, Bachet de Méziriac, La Hire, Saurin, Euler, ... se poate zice că nici un matematician nu a putut rezista farmecelor pătratului magic.

Pătratul magic al lui Albrecht Dürer[modificare | modificare sursă]

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Pătratul magic al lui Albrecht Dürer, sculptat în opera sa Melancolía este considerat primul din artele europene. În pătratul de ordinea patru se obține constanta magică (34) în rânduri, coloane, diagonale principale, și în cele patru submatricii de ordinul (2) în care se poate împărți pătratul, adăugând numerele din colțuri, cele patru numere centrale, numerele centrale ale primelor și ultimelor rânduri (sau coloane) etc. și cifrele centrale ale ultimului rând 1514 fiind anul creației operei.

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Câteva dispoziții în pătratul magic al lui Albrecht Dürer care se adună ca să formeze constanta magică.
Melancolia, gravură de Albrecht Dürer; Pătratul magic apare în colțul superior la dreapta.
Melancolia, gravură de Albrecht Dürer.

Pătratul magic dela Sagrada Familia[modificare | modificare sursă]

Fațada Pasiunii a bisericii Sagrada Família în Barcelona, concepută de sculptorul Josep Subirachs arată un pătrat magic de ordinea 4:

Ms sf 2.jpg

Constanta magică a pătratului este 33, vârsta lui Iisus Cristos în timpul Pasiunii. Structural, este forte asemănătoare pătratului magic din Melancolia, dar două numere din pătrat, (12 și 16) sunt reduse în două unități (10 și 14) iar de aceea apar repetiții. Aceasta permite să se reducă constanta magică cu 1.

Construcția Pătratelor Magice[modificare | modificare sursă]

Sunt numeroase forme de a construi un pătrat magic, dar cele mai simple consistă în a urmări anumite configurații sau formule care produc rezultate regulare. Mai mult, se poate să se impună condiții adiționale pătratului, obținându-se pătrate bi-magice, tri-magice etc. Prin analogie, se pot construi cercuri, poligoane și cuburi magice.

Nu există o metodă generală pentru a construi pătrate magice de orice ordin, fiind necesar să se facă distincția între cele de ordin impar, cele de ordin multiplu de 4 și restul de ordin par (4×m + 2)

Pătrate magice de ordin impar (I)[modificare | modificare sursă]

Aceste pătrate pot fi generate cu metoda publicată în 1691 de Simon de la Loubere, numită câteodată metoda siameză, metodă cunoscută de astrologii orientali. Începând în căsuța centrală a primului rând cu primul număr, umplem diagonala ruptă cu urmatoarele, în sens NV (sau NE). Odată umplută prima diagonală, este coborâtă de o poziție și se umple a doua în același sens ca și prima, apoi repetând pașii anteriori până se termină pătratul.

Pătrat Magic Impar.png

Evident, se putea începe în orice căsuță centrală a rândurilor sau coloanelor perimetrale, fiind în fiecare caz direcția diagonalelor în afara pătratului și sensul deplasării o dată teminată fiecare diagonală dat prin poziția relativă din centrul pătratului în ceea ce privește căsuța centrală.

Rezultă evident că începănd cu orice altă căsuță suma rândurilor și a coloanelor va fi constanta magică, dat fiind că poziția relativă a cifrelor va fi aceeași ca și în cazul anterior; totuși, în paralela diagonală a direcției umplute nu se confirmă aceste condiție (confirmată în celaltă). De fapt, alegerea inițială particulară a casuței inițiale răspunde necesității ca în diagonala paralelă direcției care trebuie umplută cele cinci numere centrale ale seriei să fie plasate consecutiv dat fiind că orice alte cinci numere consecutive nu se vor aduna la constanta magică.

Pătrate magice de ordin impar (II)[modificare | modificare sursă]

Pasul întâi: Se scriu numerele de la 1 la n². Se scrie 1 în casuța superioară a rombului și se urmează în formă oblică ca și în exemplul de mai jos. Pătratul magic va fi unul înscris în rombul format.

        1        
      6   2      
    11   7   3    
  16   12   8   4  
21   17   13   9    5 
  22   18   14   10  
    23   19   15    
      24   20      
        25        

Pasul al doilea: Transferăm numerele din colțurile rombului în casuțele goale în partea opusă a rombului.

        1        
      6   2      
    11 24 7 20 3    
  16 4 12 25 8 16 4  
21   17 5 13 21 9    5 
  22 10 18 1 14 22 10  
    23 6 19 2 15    
      24   20      
        25        

Pasul al treilea: Scoatem colțurile rombului: acum avem un pătrat magic de ordin impar.

11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15

Pătrate magice de ordin multiplu de 4[modificare | modificare sursă]

Se construiește un pătrat cu numerele dispuse consecutiv (să se vadă al doilea pătrat de ordinea 6 în introducere), dispoziție în care știm că suma diagonalelor este constanta magică. O dată facut, și conservând submatricea centrală de ordinul n/2 și cele din colțuri de ordinul n/4, învârtim de 180º numerele care rămân în jurul centrului pătratului, sau, dacă se preferă sunt puse în ordin descrescător (în ambele cazuri rezultatul este același).

Cuadrado Mágico Parmente par.png

Plecând de la aceași dispoziție și alegând patroane simetrice similare numerelor a fi conservate se pot construi pătrate magice diferite de cele obținute înainte, ca și următoarele:

Cuadrado Mágico Parmente par2.png

Pătrate magice de ordin multiplu de 4 plus 2n[modificare | modificare sursă]

Pentru a construi această clasă de pătrate magice se poate folosi metoda LUX. Se bazează în parte pe metoda lui la Loubere, care se folosește în construcția pătratelor magice de ordin impar (a se vedea mai sus).

Ca exemplu, o să construim un pătrat magic de latura zece.

Pasul întâi:

Regrupăm căsuțele în grupuri de 2x2, și le etichetăm pe fiecare în parte cu forma următoare:

-Pătratele k+1 din primele rânduri, unde k este împărțirea completă a mărimii pătratului în patru, sunt etichetate cu litera L (3 rânduri în cazul acesta).

-Pătratele rândului următor se etichetează cu litera U.

-Pătratele rândurilor rămase se etichetează cu litera X.

Aceste litere ne vor arăta pe urmă cum să umplem fiecare pătrat de 2x2.

                                       
    L     L     L     L     L
                                       
    L     L     L     L     L
                                       
    L     L     L     L     L
                                       
    U     U     U     U     U
                                       
    X     X     X     X     X

Pasul al doilea:

Se schimbă pătratul U central cu pătratul L imediat superior.


                                       
    L     L     L     L     L
                                       
    L     L     L     L     L
                                       
    L     L     U     L     L
                                       
    U     U     L     U     U
                                       
    X     X     X     X     X

Pasul al treilea

Etichetăm fiecare pătrat de 2x2 cu un număr, ghidându-ne după metoda lui la Loubere. Cu această forma indicăm în ce ordine se va umple fiecare subpătrat.

17     24     1     8     15    
    L     L     L     L     L
23     5     7     14     16    
    L     L     L     L     L
4     6     13     20     22    
    L     L     U     L     L
10     12     19     21     3    
    U     U     L     U     U
11     18     25     2     9    
    X     X     X     X     X

Pasul al patrulea

Acum, subpătratului al i-lea îi corespund numerele 4i-3, 4i-2, 4i-1 și 4i. De exemplu, subpătratului 10 îi corespund numerele 37, 38, 39 și 40.

Tot ce ne mai rămâne să știm este cum să plasăm cele patru numere în subpătratul corespunzător, și aici intră în joc etichetetele LUX.

al patrulea număr primul număr
al doilea număr al treilea număr
Subpătrat tip L
primul număr al patrulea număr
al doilea număr al treilea număr
Subpătrat tip U
primul număr al patrulea număr
al treilea număr al doilea număr
Subpătrat tip X

După cum se poate vedea, lierele ne spun forma pe care o iau numerele așezându-se în fiecare subpătrat.

Cu toate acesete elemente se poate construi pătratul.

68 65 96 93 4 1 32 29 60 57
66 67 94 95 2 3 30 31 58 59
92 89 20 17 28 25 56 53 64 61
90 91 18 19 26 27 54 55 62 63
16 13 24 21 49 52 80 77 88 85
14 15 22 23 50 51 78 79 86 87
37 40 45 48 76 73 81 84 9 12
38 39 46 47 74 75 82 83 10 11
41 44 69 72 97 100 5 8 33 36
43 42 71 70 99 98 7 6 35 34

Variante[modificare | modificare sursă]

Pătrate magice ezoterice[modificare | modificare sursă]

N.B. Pentru a se vedea comparările, pentru pătratele magice ezoterice, s-au luat alte culori, diferite decât cele folosite până acum.

Un pătrat magic ezoteric, folosește criterii mai restrictive în ceea ce privește condițiile unui pătrat magic, în așa fel încât să existe una pentru fiecare n. În continuare sunt descrise condițiile.

Proprietate de echivalență[modificare | modificare sursă]

28 21 26
23 25 27
24 29 22


8 1 6
3 5 7
4 9 2

În sens ezoteric, se consideră numai pătratele magice care au aceleași cifre ca și numărul căsuțelor (care urmăresc seria naturală de la 1 la n²). Pătratul din stânga nu este un pătrat magic ezoteric. În acest caz este rezultaul unui pătrat magic de n=3 a căror cifre au fost adăugate 20 (a fi comparat cu pătratul original din dreapta).

Proprietatea colțurilor[modificare | modificare sursă]

  • În sens ezoteric, un pătrat magic trebuie să îndeplinească unele condiții de sumă a colțurilor lui (Pe care le numim Cifra magică-2, sau de al doilea ordin). Explicația cum se alfă:
  • Dacă numim Compoziție sumarea numerelor care compun pătratul magic: C= sum (1+2+3....), sau C= ((n²+1)×(n²/2) ...
  • ...și dacă numim Numărul bază (Nb) Compozăția împărțită la numărul căsuțelor care compun pătratul, vom avea Nb= C / (n²).
  • Obținem și Cifra magică, Înmulțind Numărul bază cu n Cm=Nb×n (sau invers, obținem Nb, împărțind cifra magică la n Nb= Cm/n ).


r _ _ s
_ _ _ _
_ _ _ _
t _ _ u


r _ s
_ _ _
t _ u
Și fiind Cifra magică-2 suma colțurilor, atunci: Cm2= r+s+t+u
Deci Cm2, suma colțurilor Cm2= Cm - (Nb( n-4))
Sau (plecând de la faptul că Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)).
Sau reducând : Cm2= 4Cm / n.
Se semnalează în figuri căsuțele din colțuri, pentru pătrate de n=4 și n=3
  • Se deduce că dacă pătratul are mai puține colțuri decăt 4, atunci această cifră este adunată, și dacă este mai mare decât 4 colțuri, este scăzută. Pentru cazul în care sunt exact 4 colțuri, nici nu este adunată nici scăzută, sau adunată și scăzută,(cum este preferat să fie considerat).
  • Putem să verificăm că în pătratul magic de 4 suma celor 4 colțuri Cm2 = Cm (Cifra magică-2 = Cifra magică).

Iar suma cifrelor care formează o cruce (CRUX) (cele care sunt în mijloc între două colțuri adiacente), au ca sumă Cm2. Particularitatea n=par_impar produce două cazuri.


_ C _
R _ U
_ X _


_ _ C1 C2 _ _
_ _ _ _ _ _
R1 _ _ _ _ U!
R2 _ _ _ _ U2
_ _ _ _ _ _
_ _ X1 X2 _ _
  • Pentru cazul unde n=impar: Cm2= C +R +U +X (figura din stânga)
  • Și pentru cazul unde n=par cele două casuțe adiacente care formează o cruce în aceleași condiții, doar că în acest caz fiind două grupuri de 4 căsuțe, este de două ori CM ; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +X1 +X2 )/2 (figura din dreapta)

Se arată un pătrat de n=3 ca exemplu de caz par, și unul de n=6 ca exemplu de caz impar. Să se observe că în cazul impar, se iau cele două căsuțe centrale de CRUX, motivul, pentru că trebuie împărțit după aceea în doi.


  • S-a remarcat că în tablă exemplul arătat despre pătratul magic cu cazul unde n= 7 : aplicat este C=1225 ; Nb=25 ; Cm= 25×7=175 ; Cm2= 175- (25(7-4)=100
  • Se poate verifica Cm2=R+S+T+U , (colțurile, în bleu deschis 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100
  • În același mod se poate verifica Cm2=C+R+U+X ,(centrele crucii, en turquoise închis 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100


22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28

.


Latura n a pătratului Căsuțe n×n Sumare (n²+1)×(n²/2) Cifra magică C/n Număr bază Cm/n Cifra magică-2 Cm2= 4Cm / n
n C Cm Nb Cm2
1 1 1 1 1 4 Non mag.
2 4 10 5 2,5 10 Non. mág.
3 9 45 15 5 20
4 16 136 34 8,5 34
5 25 325 65 13 52
6 36 666 111 18,5 74
7 49 1225 175 25 100
8 64 2080 260 32,5 130
9 81 3321 369 41 164


  • Se poate înțelege că pătratul de 1 nu are 4 colțuri, și totodată a lui cifră mágică-2, este 4, nefiind posibil să se adune mai mult decăt 1, nu poate fi un pătrat magic ezoteric.
  • Pătratul de doi, chiar dacă are 4 colțuri, a lui cifră mágică-2 face să apară un rezultatul 10, ceea ce este imposibil să rezulte. Se explică mai sus în acest articol de ce un pătrat magic n=2, nu poate fi (Cm nu are resultat), și acum de ce nu este ezoteric.

Proprietăți poziționale[modificare | modificare sursă]

Ceea ce face ca un pătrat magic ezoteric să fie ordonat sunt îndeplinirea unor alte condiții care sunt lejer diferite în pătratele cu n-par pe lângă cele cu n-impar. (același pătrat rotit sau reflectat nu mai rămâne ordonat dar continuă să fie ezoteric.

  • n-impar: Nb ocupă căsuța centrală. Cifra cea mai mare este în susul căsuței centrale și cea mai mică dedesubt. Colțul r este ocupat de cifra Nb-(n/2-(1/2)) și colțul opus u de cifra Nb+(n/2-(1/2)). Colțul s este ocupat de cifra n/2+(1/2) și căsuța opusă t, de 2×Nb-(cifra s), sau, ceea ce dă aceelași rezultat, de cifra cea mai mare a pătratului magic, - (n/2-(1/2)).
  • n-par : Căsuța r (prima), este ocupată de cifra n, cifra 1 ocupă căsuța s, și ultima cifră, diagonala t, și căsuța u=t+s-r. Dacă este par, nu există căsuță centrală, și pentru același Nb, nu este întreg, și nu ocupă nici o căsuță.

Pătratul magic Renato[modificare | modificare sursă]

1 399 3 397 396 395 7 8 9 391 390 12 13 14 386 385 384 18 382 20
21 22 23 377 376 375 374 28 29 371 370 32 33 367 366 365 364 38 39 40
41 359 43 357 45 46 354 48 352 351 350 349 53 347 55 56 344 58 342 60
61 62 63 64 336 335 334 68 332 331 330 329 73 327 326 325 77 78 79 80
81 319 83 317 85 315 87 88 312 311 91 309 308 307 306 96 97 98 99 301
300 102 103 104 296 106 294 108 292 291 290 289 113 287 115 285 117 118 119 281
121 279 123 277 276 275 127 128 129 271 270 132 133 134 266 265 264 138 262 140
141 259 143 257 256 146 147 148 252 150 250 249 153 247 246 245 244 158 159 160
161 239 238 237 236 235 234 233 169 231 170 172 173 174 175 176 177 178 222 180
200 199 198 197 196 195 194 193 212 190 191 209 208 207 206 205 204 203 202 201
220 219 218 217 216 215 214 213 192 210 211 189 188 187 186 185 184 183 182 181
240 162 163 164 165 166 167 168 229 171 230 232 228 227 226 225 224 223 179 221
260 142 258 144 145 255 254 248 149 251 151 152 253 154 155 156 157 243 242 241
280 122 278 124 125 126 267 273 272 130 131 269 268 274 135 136 137 263 139 261
101 299 298 297 105 286 107 293 109 110 111 112 288 114 295 116 284 283 282 120
320 82 318 84 305 86 314 313 89 90 310 92 93 94 95 316 304 303 302 100
340 339 338 324 65 66 67 333 69 70 71 72 328 74 75 76 337 323 322 321
360 42 343 44 356 355 47 353 49 50 51 52 348 54 346 345 57 358 59 341
380 362 378 24 25 26 27 373 372 30 31 369 368 34 35 36 37 363 379 361
381 2 398 4 5 6 394 393 392 10 11 389 388 387 15 16 17 383 19 400


Acesta este pătratul magic "RENATO" al cărui autor este Jorge Egúsquiza Loayza. Acest pătrat magic care conține numerele de la 1 la 400 are suma de 4,010 în direcțiile orizontale, verticale și diagonale. Crearea lui a fost posibilă folosind o metodă de creat pătrate magice de dimensiuni mari. Această metodă se bazează pe extrapolarea numerelor folosind o succesiune logică de inversare, unde se schimbă un număr superior cu unul inferior:

Numărul 2 de pe prima linie se inversează, schimbându-l cu numărul 382, care ia locul numărului 19, care trece în locul lui 399, și care se termină în căsuța numărului 2. Este o metodă logică de inversare a colțurilor.