Derivată parţială

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, derivata parţială a unei funcţii de mai multe variabile este derivata în raport cu una din acele variabile, în condiţiile în care celelalte variabile sunt ţinute constante (spre deosebire de derivata totală, la care toate variabilele au voie să varieze). Derivatele parţiale sunt utile în analiza vectorială şi geometria diferenţială.

Derivata parţială a unei funcţii f în raport cu variabila x este scrisă ca f_x sau ${\frac{\partial f}{\partial x}}$ . Simbolul derivatei parţiale, ∂, este o literă rotunjită, deosebindu-se de simbolul d drept cu care se notează derivata totală. Notaţia a fost introdusă de Legendre şi a devenit universal acceptată după ce a fost reintrodusă de Jacobi.

[modifică] Exemple

Considerăm volumul V al unui con; el depinde de înălţimea înălţimea h şi raza r a conului, conform formulei

$V(r, h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}.$

Derivata parţială a lui V în raport cu r este

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}.$

Ea descrie viteza cu care volumul unui con se modifică dacă raza sa este crescută, ţinând înălţimea constantă. Derivata parţială în raport cu h este

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

şi reprezintă viteza cu care volumul se modifică dacă se modifică înălţimea, ţinând raza constantă.

Ecuaţiile care implică derivatele parţiale ale unei funcţii necunoscute se numesc ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale şi sunt întâlnite în fizică, inginerie, şi alte ştiinţe şi discipline aplicate.

[modifică] Notaţie

Pentru următoarele exemple, fie f o funcţie în x, y şi z.

Derivatele parţiale de ordinul întâi:

$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.$

Derivatele parţiale de ordinul doi:

$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f.$

Derivatele parţiale mixte de ordinul doi:

$\frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = \partial_{xy} f.$

Derivatele parţiale de ordin superior:

$\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}.$

În cazul funcţiilor cu mai multe variabile, unele din aceste variabile pot fi legate unele de celelalte, şi ar putea fi necesar să se specifice explicit care variabile sunt considerate constante. În domenii cum ar fi mecanica statistică, derivata parţială a lui f în raport cu x, când y şi z sunt constante, sunt adesea exprimate astfel:

$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}.$

[modifică] Definiţie şi proprietăţi

Ca şi derivata obişnuită, derivata parţială se defineşte ca o limită. Fie U o submulţime deschisă a lui Rⁿ şi f : U → R o funcţie. Definim derivata parţială a lui f în punctul a = (a₁, ..., a_n) ∈ U în raport cu variabila a i-a x_i ca

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Chiar dacă toate derivatele parţiale $\frac{\partial f}{\partial x_i} (a)$ există într-un punct a, funcţia derivată nu este în mod necesar continuă în acel punct. Totuşi, dacă toate derivatele parţiale există într-o vecinătate a lui a şi sunt continue în acea vecinătate, atunci f este derivabilă total în acea vecinătate şi derivata totală este continuă. În acest caz, spunem că f este o funcţie de clasă C¹. Putem folosi acest fapt pentru a generaliza pentru funcţii vectoriale (f : U → R'^m) folosind un argument pe componente.

Derivata parţială $\frac{\partial f}{\partial x}$ poate fi văzută ca o altă funcţie definită pe U care poate fi mai departe derivată parţial. Dacă toate derivatele parţiale mixte de ordinul doi sunt continue într-un punct (sau pe o mulţime), numim funcţia f funcţie de clasă C² în acel punct (sau pe acea mulţime); în acest caz, derivatele parţiale pot fi interschimbate conform teoremei lui Clairaut: