Ecuație cu derivate parțiale

Un prim exemplu

Un exemplu celebru îl constituie ecuația lui Laplace:

$\frac{\part^2 u}{\part x^2} + \frac{\part^2 u}{\part y^2} + \frac{\part^2 u}{\part z^2}=0,$

Căutăm soluțiile acestei ecuații sub forma unor polinoame omogene în $x$, $y$ și $z$.

- polinomul omogen de gradul 0: $U_0=a$ (unde $a$ este o constantă arbitrară) este, în mod evident, singurul polinomul omogen de gradul 0 care verifică ecuația Laplace

- polinomul omogen de gradul 1: $U_1=ax+by+cz$. Polinomul omogen de gradul 1 verifică ecuația lui Laplace pentru oricare valori ale coeficienților constanți $a$, $b$ și $c$. Așadar există trei soluții liniar independente ale ecuației lui Laplace, și anume $x$, $y$ și $z$. Acestea, alături de combinațiile lor liniare cu coeficienți constanți, furnizează soluția generală a ecuației lui Laplace sub forma unui polinom omogen de gradul 1.

- polinomul omogen de gradul 2: $U_2=ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx$

Calculăm succesiv:

$\frac{\part^2 U_2}{\part x^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2a$

$\frac{\part^2 U_2}{\part y^2} =\frac{\part^2}{\part y^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2b$

$\frac{\part^2 U_2}{\part z^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2c$

Sumând cele trei expresii și egalând cu 0, conform ecuației lui Laplace, obținem $2a + 2b + 2c = 0$, adică $a + b + c = 0$. Punând, de exemplu, $c = - a - b$, obținem, după o rearanjare a termenilor,forma generală a polinoamelor omogene de gradul 2 care verifică ecuația lui Laplace:

$U_2=ax^2+by^2+(-a-b)z^2+dxy+eyx+fzx$

$=ax^2+by^2-az^2-bz^2+dxy+eyx+fzx$

$=a(x^2-z^2)+b(y^2-z^2)+dxy+eyx+fzx$

De aici obținem 5 soluții liniar independente ale ecuației lui Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 2.

- polinomul omogen de gradul 3:

$U_3=ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy$

Calculăm succesiv:

$\frac{\part^2 U_3}{\part x^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy) =$

$=\frac{\part}{\part x} (3ax^2+2dxy+2exz+fy^2+hz^2+lzy) =6ax+2dy+2ez$

$\frac{\part^2 U_3}{\part y^2} =\frac{\part^2}{\part y^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy) =$

$=\frac{\part}{\part y}(3by^2+dx^2+2fyx+2gyz+kz^2+lxz) =6by+2fx+2gz$

$\frac{\part^2 U_3}{\part z^2} =\frac{\part^2}{\part z^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy )=$

$=\frac{\part}{\part z}(3cz^2+ex^2+gy^2+2hzx+2kzy+lxy)=6cz+2hx+2ky$

Sumând cele trei expresii și egalând cu 0, conform ecuației Laplace, obținem

$6ax+2dy+2ez+ 6by+2fx+2gz+ 6cz+2hx+2ky = 0$,

adică

$x(6a+2f+2h)+y(6b+2d+2k) + z(6c+2e+ 2g)= 0$

Împărțind prin 2, obținem

$x(3a+f+h)+y(3b+d+k) + z(3c+e+ g)= 0$

Egalând cu 0 coeficienții lui $x$, $y$ și $z$, obținem trei ecuații pentru coeficienți.

$3a+f+h = 0$ => $a = -\frac{1}{3}(f+h )$

$3b+d+k = 0$ => $b = -\frac{1}{3}(d+k )$

$3c+e+g = 0$ => $c = -\frac{1}{3}(e+g )$

De aici obținem 7 soluții liniar independente ale ecuației Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 3.

Bibliografie

• Jost, J. (2002), Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95428-7 .
• A. N. Tihonov, A. A. Samarski Ecuațiile fizicii matematice (traducere din limba rusă), Editura Tehnică, 1956