Cicloidă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare
Cicloida (roşu) generată de un cerc care se rostogoleşte

O cicloidă este o curbă trasată de un punct fix de pe un cerc care se rostogoleşte pe o dreaptă. Este un exemplu de ruletă, o curbă generată de o curbă care se rostogoleşte pe o altă curbă.

Cicloida este soluţia problemei brahistocrone (adică este curba celei mai rapide descendenţe sub acţiunea forţei gravitaţionale) şi a problemei tautocrone (adică perioada de timp în care o bilă care se rostogoleşte în interiorul ei înainte şi înapoi nu depinde de poziţia iniţială a bilei).

Cuprins

[modifică] Istorie

Cicloida a fost studiată de Nicholas of Cusa şi mai târziu de Mersenne. A fost denumită de către Galileo în 1599. În 1634, G.P. de Roberval a arătat că aria de sub cicloidă este de trei ori mai mare decât aria cercului generator. În 1658, Christopher Wren a demonstrat că lungimea unei cicloide este de patru ori mai mare decât diametrul cercului generator. Cicloida a fost numită "Elena geometrilor" deoarece a cauzat certuri frecvente între matematicienii secolului 17.

[modifică] Ecuaţii

Graficul unei cicloide generate de un cerc cu raza r=2

Cicloida care trece prin origine, creată de un cerc cu raza r, este formată din punctele (x,y) cu

x = r(t - \sin t)\,
y = r(1 - \cos t)\,

unde t este un parametru real, egal cu centrul cercului generator.

Această curbă este diferenţiabilă peste tot cu excepţia cuspidelor, unde se intersectează cu axa x, unde derivata tinde spre \infty sau -\infty în timp ce se apropie de cuspidă. Satisface ecuaţia diferenţială

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}

[modifică] Suprafaţă

Un arc al unei cicloide generat de un cerc cu raza r\, poate fi parametrizat

x = r(t - \sin t)\,
y = r(1 - \cos t)\,

cu

0 \le t \le 2 \pi.

Deoarece

\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t)

găsim că aria de sub arc este

A=\int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt =\left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} =3 \pi r^2.

[modifică] Pendul cicloidal

Dacă lungimea sa este egală cu jumătate din lungimea cicloidei, atunci corpul unui pendul suspendat de cuspida unei cicloide inversate, astfel încât firul rămâne între arcele adiacente cicloidei, descrie, de asemenea, o traiectorie cicloidală. Un astfel de pendul cicloidal este izocron, indiferent de amplitudine.

[modifică] Curbe înrudite

Există câteva curbe care sunt înrudite cu cicloida. Dacă punctul fix nu se află pe cerc, obţinem o cicloidă curtată şi o cicloidă prolată. În primul caz, punctul care trasează curba se află în interiorul cercului, iar în al doilea caz, în afara lui. O trohoidă se referă la orice cicloidă, cicloida curtată şi cicloida prolată. Dacă dreapta pe care se rostogoleşte cercul este înlocuită cu un cerc arbitrar, se obţine o epicicloidă (un cerc se rostogoleşte pe exteriorul unui alt cerc, punctul se află pe cercul care se rostogoleşte), o hipocicloidă (un cerc se rostogoleşte în înteriorul unui alt cerc, punctul se află pe cercul care se rostogoleşte), o epitrohoidă (un cerc se rostogoleşte pe exteriorul unui alt cerc, punctul se află oriunde, dar fixat, faţă de cercul care se rostogoleşte) şi o hipotrohoidă (un cerc se rostogoleşte în interiorul unui alt cerc, punctul se află oriunde, dar fixat, faţă de cercul care se rostogoleşte).

Aceste curbe sunt rulete cu un cerc care se rostogoleşte de-a lungul unei curbe uniforme. Cicloidele, epicicloidele şi hipocicloidele au proprietatea că fiecare este similară cu evoluta sa. Dacă q este produsul curburii cu raza cercului generator, şi având semnul + pentru epi- şi - pentru hipo-, atunci raportul de similitudine dintre curbă şi evoluta sa este 1+2q.

[modifică] Vezi şi

[modifică] Referinţe

[modifică] Legături externe

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Cicloid%C4%83
Unelte personale