Cardioidă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Curba roşie este o cardioidă.

În geometrie, cardioida este o epicicloidă cu o cuspidă. Cardioida este o curbă plană descrisă de un punct de pe un cerc în timp ce acesta se rostogolește, fără alunecare, pe un alt cerc fix, exterior și de aceeași rază.

Cardioida este, de asemenea, și un caz particular de melc: este un melc cu o cuspidă. Cuspida este formată atunci când raportul dintre a și b din ecuație este echiunitar.

Cardioida a fost studiată de Römer în 1674, utilizată de Vaumesle în 1678 și J. Koërsma în 1689, dar denumirea a fost propusă de G. Castilion în 1741. Numele ei provine de la forma asemănătoare unei inimi (gr. kardioeides: kardia, "inimă" și eidos, "formă"). Comparată cu simbolul care reprezintă inima (♥), se observă că inima are două vârfuri ascuțite, pe când cardioida numai unul. Este mai degrabă asemănătoare cu secțiunea transversală printr-o prună.

Cardioida este transformata inversă a parabolei.

Figura mare, centrală, din mulțimea lui Mandelbrot este o cardioidă.

Ecuații[modificare | modificare sursă]

Deoarece cardioida este o epicicloidă cu o cuspidă, are ecuațiile parametrice

 x(t) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \cos 2 t \right),
 y(t) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)

unde r este raza cercurilor care generează curba, iar cercul fix are centrul în origine. Vârful se află la coordonatele (r,0).

Ecuația polară

 \rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \

descrie o cardioidă de aceaași formă. Este aceeași curbă cu cea dată mai sus, mutată la stânga cu r unități de măsură, astfel încât vârful se află în origine.

Pentru demonstrație, vezi Demonstrații asupra cardioidei.

Grafice[modificare | modificare sursă]

CardioidsLabeled.PNG

Patru grafice reprezentând cardioide orientate în cele patru direcții cardinale, cu ecuațiile polare proprii.

Suprafață[modificare | modificare sursă]

Suprafața unei cardioide cu ecuația polară

 \rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)

este

 A = {3\over 2} \pi a^2 .

Vezi demonstrație.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Referințe[modificare | modificare sursă]

Wikţionar
Caută „cardioidă” în Wikționar, dicționarul liber.