Simetria derivatei a doua

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, simetria derivatei a doua se referă la posibilitatea interschimbării ordinii de derivare parțială a unei funcții f. Fie funcția f de 2 variabile.

f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
f (x_1,x_2,....,x_n)

atunci functia derivata intr-un punct X0 din R se noteaza cu

f\prime\ (\overrightarrow{X_0})

sau

f\prime\ (x_1, x_2, ... , x_n )

fiindca

\overrightarrow{X} = \overrightarrow{(x_1, x_2, ... , x_n)} \in \, \mathbb{R}^n


Dacă derivata parțială în raport cu Xi a lui f se notează cu indicele i, atunci simetria presupune că există două derivate parțiale de ordinul doi, notate f = f \prime\prime (X_i)= f\prime (\overrightarrow{f\prime\ (\overrightarrow{X_i})}) ce satisfac egalitatea următoare:

f\prime\prime _{ij} = f\prime\prime _{ji}

Observație: se ințelege că acestea sunt deasemenea funcții de variabilă \overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{(x_1, x_2, ... , x_n)} definită ca mai sus.

și se cheamă teorema lui Young si matricea aranjată in acest fel este o matrice simetrică n × n.

Teorema lui Clairaut[modificare | modificare sursă]

Matricea avand ca elemente valorile derivatei de ordin II a functiei, se numește matricea hessiană sau matrice Hess asociată lui f. Elementele din afara diagonalei principale a acestei matrice sunt derivate mixte, obținute prin derivarea de gradul dooi a funcției în raport cu două variabile diferite.

Matricea Hesse este o matrice simetrică, iar matematic acest lucru se exprimă prin faptul că f are mai mult de o derivată parțială intr-un punct. Adică cel putin două. Teorema lui Clairaut dă o condiție suficientă pentru ca f să aibă o matrice Hesse intr-un punct, adică să aibă toate derivatele de rand doi de pe diagonala principala diferite de 0.

Exprimarea matematică[modificare | modificare sursă]

Simetria înseamnă că

\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

Această egalitate se poate scrie și ca

\partial_{xy} f = \partial_{yx} f.

Alfel, simetria poate fi scrisă ca o formulă algebrică folosind operatorul diferențial Di care primește derivata parțială în raport cu xi:

Di . Dj = Dj . Di.

Din relație se deduce că inelul operatorilor diferențiali cu coeficienți constanți, generați de Di, este comutativ. Dar trebuie să fie specificat un domeniu pentru acești operatori. Este ușor de verificat că simetria se aplică la monoame, deci putem lua polinomele în xi ca domeniul funtiei f(x).

Teorema lui Clairaut[modificare | modificare sursă]

În analiza matematică, teorema lui Schwarz-Clairaut, numită după Alexis Clairaut și Hermann Schwarz, spune că

f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

sunt derivate parțiale de ordinul doi continue în orice punct dat  \mathbb{R}^n , notat cu,  (a_1, \dots, a_n), atunci pentru 1 \leq i,j \leq n,

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).

Altfel spus, derivatele parțiale de ordinul doi ale acestei funcții comută în acest punct.