Sari la conținut

Produs interior Frobenius

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică produsul interior Frobenius este o operație binară între două matrici, ar cărei rezultat este un scalar. Este adesea notat . Operația este un produs interior pe elemente a două matrici ca și cum ar fi vectori și satisface axiomele pentru un produs interior. Cele două matrici trebuie să aibă aceeași dimensiune — același număr de linii și coloane, dar nu sunt restricționate să fie matrici pătrate.

Poartă numele matematicianului german Ferdinand Georg Frobenius.

Fiind date două matrici complexe n×m A și B, scrise explicit ca

produsul scalar Frobenius este deefinit ca fiind

unde suprabararea indică conjugata complexă, iar indică adjuncta.[1] Explicit, această sumă este

Relația cu alte produse

[modificare | modificare sursă]

Dacă A și B sunt fiecare matrici reale, produsul scalar Frobenius este suma elementelor din produsul Hadamard. Dacă matricile sunt vectorizate (adică, convertite în vectori coloană, notați cu „”), atunci

Prin urmare

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]

Este o formă sesquiliniară⁠(d), pentru patru matrici complexe A, B, C, D și două numere complexe a și b:

Permutarea matricelor înseamnă o conjugare complexă:

Dacă este aceeași matrice,

,

și

.

Norma Frobenius

[modificare | modificare sursă]

Produsul scalar are norma Frobenius:[1]

Matrici reale

[modificare | modificare sursă]

Pentru două matrici reale, dacă

atunci

Matrici complexe

[modificare | modificare sursă]

Pentru două matrici complexe, dacă

atunci

în timp ce

Produsele scalare Frobenius ale lui A cu sine însăși, respectiv, B cu sine însăși, sunt:

  1. ^ a b en Horn, R.A.; C.R., Johnson (). Topics in Matrix Analysis (ed. 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. p. 321. ISBN 978-0-521-83940-2.