Principiul Cantor-Dedekind

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Principiul Cantor-Dedekind pune în evidență o proprietate importantă de ordonare a numerelor reale, fiind la baza multor teoreme fundamentale ale analizei matematice. Mai este denumit și principiul de localizare al lui Cantor.

Este asociat cu numele matematicienilor Georg Cantor și Richard Dedekind.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Pentru orice familie numărabilă de intervale închise cu avem că

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Din se deduc inegalitățile:

deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista numere naturale cu atunci luând s-ar obține absurd pentru

Mulțimea este majorată superior deci există

Avem că Într-adevăr, în caz contrar ar exista un cu și în consecință există și un cu ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt disjuncte.

Mulțimea este minorată inferior deci există Urmând același raționament rezultă că

Se arată prin reducere la absurd

Dacă atunci există cu și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un cu fapt care conduce tot la o contradicție. Așadar și sunt două numere reale cu proprietatea că pentru orice și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul

Consecințe[modificare | modificare sursă]

Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea teoremei Weierstrass-Bolzano.

Legături externe[modificare | modificare sursă]