Teorema Weierstrass-Bolzano

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.

Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.

Enunț[modificare | modificare sursă]

O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale. Există cu pentru orice Luăm și considerăm

Cel puțin unul din intervalele conține o infinitate de elemente din A. Se notează acest interval prin Deci și că Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale cu proprietățile:

a)

b)

Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul ce apare în demonstrația principiului.

Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că

Din pentru orice rezultă că:

și se obține:

Aplicând principiul lui Arhimede pentru și pentru rezultă că există cu:

fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:

Se notează prin valoarea comună a lui și Pentru aceasta se demonstrează că este punct de acumulare pentru mulțimea A.

Fie o vecinătate a lui Se demonstrează mai întâi că există și cu

Dacă pentru orice n avem că atunci obținem că pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct. Similar se obține existența lui cu proprietatea menționată. În fapt, inegalitățile:

rezultă imediat și din construcția lui și Fie în continuare

Avem inegalitățile:

și deoarece intervalul conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că este un punct de acumulare al mulțimii.

Legături externe[modificare | modificare sursă]