Formula lui Stirling

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Raportul dintre (ln n!) şi (n ln n − n) se apropie de unitate când n creşte.

În analiza matematică, formula lui Stirling permite calculul aproximativ al factorialului:

unde este un număr stabilit de James Stirling.

Această formulă este echivalentă cu:

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Conform unei proprietăți a logaritmilor:

Deoarece funcția logaritm este crescătoare pe

pentru

Se scrie această dublă inegalitate pentru și se adună membru cu membru. Rezultă:

Prin derivare se obține:

Fie:

Se poate obține:

și apoi:

Utilizând dezvoltarea în serie Taylor, se obține:

Pentru se poate scrie:

Aceasta implică:

Luând în considerare proprietățile seriilor geometrice:

Deci șirul este descrescător, iar șirul este descrescător. Rezultă că este convergent către o limită C cu proprietatea:

unde

Utilizând funcția exponențială, se obține:

Rămâne de demonstrat că  

Se utilizează formula lui Wallis:

care poate fi scrisă:

adică:

Utilizând formula de mai sus:

se obține:

Rezultă:

adică:

ceea ce trebuia demonstrat.