Extensie algebrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În algebră abstractă, o Extensie de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.[1][2] Extensiile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.[3][4]

De exemplu, extensia de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extensie a corpului numerelor raționale, este transcendent,[5] deoarece corpul extensiilor C/R[6] și Q(2)/Q[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.

Toate extensiile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extensiile finite sunt algebrice.[8] Inversa nu este adevărată: există extensii infinite care sunt algebrice.[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extensie algebrică infinită a numerelor raționale.[10]

Fie E o extensie a corpului K, iar aE. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extensie algebrică a lui K care are un grad finit peste K.[11] Inversa nu este adevărată. Q[π] și Q[e] sunt corpuri, dar π și e sunt transcendente peste Q.[12]

Toate corpurile algebric închise F nu au extensii algebrice proprii, adică nu au extensii algebrice E cu F < E.[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extensie algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.[14]

O extensie L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.

Properietăți[modificare | modificare sursă]

Clasa extensiilor algebrice formează o clasă distinctă de extensii de corp, extensii care au următoarele trei proprietăți:[15]

  1. Dacă E este o extensie algebrică a lui F iar F este o extensie algebrică a lui K, atunci E este o extensie algebrică a lui K.
  2. Dacă E și F sunt extensii algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci produsul tensorial de corpuri⁠(d) EF este o extensie algebrică a lui K.
  3. Dacă E este o extensie algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extensie algebrică a lui K.

Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:

  1. Reuniunea oricărui lanț de extensii algebrice peste un corp de bază este ea însăși o extensie algebrică peste același corp de bază.

Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.

Generalizări[modificare | modificare sursă]

Teoria modelelor⁠(d) generalizează noțiunea de extensie algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extensie algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă⁠(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea

este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extensiei algebrice. Grupul Galois⁠(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
  2. ^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
  3. ^ en Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
  4. ^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  5. ^ en Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.
  6. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
  7. ^ en Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.
  8. ^ en See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
  9. ^ en Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
  10. ^ en Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
  11. ^ en Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
  12. ^ en Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
  13. ^ en Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
  14. ^ en Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
  15. ^ en Lang (2002) p.228

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Fraleigh, John B. (), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7 
  • en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0 
  • en Lang, Serge (), „V.1:Algebraic Extensions”, Algebra (ed. Third), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
  • en Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0 
  • en McCarthy, Paul J. () [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001 
  • en Roman, Steven (), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081 
  • en Rotman, Joseph J. (), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687