Grup de automorfisme

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În matematică grupul de automorfisme într-una din formele sale cele mai generale este definit în contextul teoriei categoriilor. În teoria categoriilor, grupul de automorfisme al unui obiect X este grupul format din automorfismele lui X. Cel mai faimos exemplu este , care este grupul de automorfisme al unui grup ca , un altul este grupul liniar general⁠(d): dacă X este un spațiu vectorial finit-dimensional, atunci grupul de automorfism al lui X este grupul de transformări liniare inversabile al lui X pe sine însuși.

În special în contexte geometrice, un grup de automorfisme este numit și grup de simetrie. Un subgrup al unui grup de automorfisme se numește, în special în literatura veche, grup de transformare.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Grupul de automorfism al unei mulțimi X este tocmai grupul simetric⁠(d) al lui X.
  • Un omomorfism de grup la grupul de automorfisme al unei mulțimi X echivalează cu o acțiune de grup⁠(d) pe X: orice G-acțiune pe mulțimea X determină și, invers, orice omomorfism definește o acțiune prin .
  • Fie două mulțimi finite cu aceeași cardinalitate și mulțimea tuturor bijecțiilor <A \mathrel{\overset{\sim}\to} B</math>. Atunci , care este un grup simetric (vezi mai sus), acționează asupra din stânga în mod liber și tranzitiv; adică, este un torsor pentru .
  • Grupul de automorfisme al unui grup ciclic finit de ordinul n este izomorf⁠(d) cu cu izomorfismul dat de .[1] În particular, este un grup abelian.
  • Grupul de automorfism al unei extensii de corp este grupul constând din automorfisme de corp ale L care fixează pe K. Dacă extensia de corp este o extensie Galois, grupul de automorfisme se numește grupul Galois al extensiei de corp.
  • Grupul de automorfism al n-spațiului proiectiv pe un corp k este grupul liniar proiectiv [2]
  • Grupul de automorfisme al unei algebre Lie reale finită dimensional are structura unui grup Lie (real, de fapt este chiar un grup algebric liniar). Dacă "G" este un grup Lie cu algebră Lie , atunci grupul de automorfisme al lui "G" are structura unui grup Lie indusă de grupul de automorfisme .[3][4]

În teoria categoriilor[modificare | modificare sursă]

Grupurile de automorfisme apar foarte natural în teoria categoriilor.

Dacă X este un obiect dintr-o categorie, atunci grupul de automorfisme al lui X este grupul format din toate morfismele inversabile din X pe sine însuși. Este grupul unitar al endomorfismului monoidului X.

Dacă sunt obiecte dintr-o anumită categorie, atunci mulțimea al tuturor este un torsor la stânga. În practică acest lucru spune că o alegere diferită a unei origini a diferă fără ambiguitate de un element , sau că fiecare alegere a unei origini este o alegere a trivializării torsorului.

Dacă și sunt obiecte din categoriile și , și dacă este o aplicație functor pe , atunci induce omomorfismul de grup , deoarece aplică morfismele inversabile pe morfismele inversabile.

În particular, dacă G este un grup, considerat categorie, cu un singur obiect * sau, mai general, dacă G este un grupoid, atunci orice functor în categoria C este numit acțiune sau reprezentare a lui G pe obiectul , sau objectele . Aceste obiecte se spune că sunt -obiecte. Dacă este o categorie de module precum categoria spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite, atunci -obiectele se numesc -module.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Dummit & Foote 2004, § 2.3. Exercise 26..
  2. ^ en Hartshorne 1977, Ch. II, Example 7.1.1..
  3. ^ en Hochschild, G. (). „The Automorphism Group of a Lie Group”. Transactions of the American Mathematical Society. 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752. 
  4. ^ Fulton & Harris 1991, Exercise 8.28.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]