Derivată de ordinul al doilea

Graficul funcției $3x^{3}-5x^{2}+8$ (cu negru), prima sa derivată ($9x^{2}-10x,$ cu roșu) și a doua
($18x-10,$ cu albastru). Derivata a doua a unei funcții algebrice de gradul al treilea este o dreaptă

În calculul diferențial derivata de ordinul al doilea sau derivata a doua a unei funcții f este derivata derivatei lui f. Aproximativ vorbind, a doua derivată reflectă modul în care se variază variația unei cantități; de exemplu, a doua derivată a poziției unui obiect în raport cu timpul este accelerația instantanee a obiectului sau cu cât variază viteza obiectului în raport cu timpul. În notația Leibniz:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

unde a este accelerația, v este viteza, t este timpul, x este poziția și d este diferența instantanee („delta”). Ultima expresie ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ este a doua derivată a poziției x în raport cu timpul.

Pe graficul unei funcții a doua derivată corespunde cu curbura sau concavitatea graficului. Graficul unei funcții cu o derivată a doua pozitivă este concav în sus, în timp ce graficul unei funcții cu o derivată a doua negativă se curbează în sens opus.

Notații

De obicei derivata a doua a funcției $f(x)$ se notează $f''(x)$. Adică:

$f''=\left(f'\right)'$

În notația Leibniz, derivata a doua a variabilei dependente y în funcție de variabila independentă x se scrie

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Notația provine din formula:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Notație alternativă

După cum s-a văzut în secțiunea anterioară, notația standard Leibniz pentru a doua derivată este ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$. Însă această formă nu este una algebrică. Adică, deși este formată ca un raport de diferențe, fracția nu poate fi împărțită în bucăți, termenii nu pot fi anulați etc. Totuși, această limitare poate fi remediată folosind o formulă alternativă pentru a doua derivată. Aceasta provine din aplicarea regulii derivării câtului la prima derivată. Asta duce la formula:

$y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$

În această formulă $du$ reprezintă operatorul diferențial aplicat funcției $u$, adică $d(u)$, $d^{2}u$ înseamnă aplicarea operatorului diferențial de două ori, adică $d(d(u))$, iar $du^{2}$ se referă la pătratul operatorului diferențial aplicat lui $u$, adică $(d(u))^{2}$.

Când sunt scrise în acest fel (și ținând seama de semnificația notației de mai sus), termenii celei de-a doua derivate pot fi manevrați ca orice alt termen algebric. De exemplu, formula funcției inverse pentru a doua derivată poate fi dedusă din operații algebrice asupra formulei de mai sus, precum și din teorema de derivare a funcțiilor compuse pentru a doua derivată. Însă, având în vedere complicațiile care apar, este discutabil dacă o astfel de modificare a notației merită să fie făcută.

Gradul derivatei a doua

Pentru a obține a doua derivară se aplică același procedeu prin care se obține prima derivată, aplicat primei derivate:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

Ca umare, gradul derivatei a doua a unei funcții polinomiale este mai mic cu 2 față de gradul funcției.

Exemplu

Fiind dată funcția

$f(x)=x^{3},$

derivata lui f este funcția

$f^{\prime }(x)=3x^{2}.$

A doua derivată a lui f este derivata lui $f^{\prime }$, adică

$f^{\prime \prime }(x)=6x.$

Relația cu graficul funcției

Grafic al $f(x)=\sin(2x)$ de la $-{\frac {\pi }{4}}$ la ${\frac {5\pi }{4}}$
derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=-4\sin(2x)$, iar semnul său este astfel opusul celui al f. Tangenta este albastră unde funcția este convexă (deasupra tangentei), verde când este concavă (sub tangentă) și roșie în punctele de inflexiune: $0,\pi /2,\pi$

Concavitate

Derivata a doua a funcției f poate fi folosit pentru a determina concavitatea graficului f. O funcție a cărei a doua derivată este pozitivă va fi concavă în sus (numită și „convexă”), ceea ce înseamnă că tangenta se va afla sub graficul funcției. În mod similar, o funcție a cărei a doua derivată este negativă va fi concavă în jos (numită simplu „concavă”), iar tangentele sale se vor afla deasupra graficului funcției.

Puncte de inflexiune

Articol principal: Punct de inflexiune.

Dacă a doua derivată a unei funcții își schimbă semnul, graficul funcției va trece de la concav la convex sau invers. Un punct în care se întâmplă acest lucru se numește punct de inflexiune. Presupunând că a doua derivată este continuă, ea trebuie să aibă valoarea zero în orice punct de inflexiune, deși nu orice punct în care a doua derivată este zero este în mod necesar un punct de inflexiune.

Informații oferite de derivata a doua

Relația dintre a doua derivată și graficul funcției poate fi utilizată pentru a stabili dacă un punct staționar al unei funcții (adică un punct în care $f^{\prime }(x)=0$) este un maxim local sau un minim local. Adică:

• dacă $f''(x)<0$, atunci $f$ are în $x$ un maxim local;
• dacă $f''(x)>0$, atunci $f$ are în $x$ un minim local;
• dacă $f''(x)=0$, testul este neconcludent.

Motivul pentru care a doua derivată produce aceste rezultate poate fi ilustrat printr-o analogie din lumea reală. Considerând un corp (de exemplu un vehicul lansat în sus pe o pantă) care la început se deplasează înainte cu o viteză mare, dar cu o accelerație negativă. În mod clar, poziția corpului în punctul în care viteza ajunge la zero va fi distanța maximă față de poziția de pornire, după care viteza va deveni negativă și corpul se va deplasa înapoi. Același lucru este valabil și pentru minim, cu un corp care la început are o viteză negativă, dar o accelerație pozitivă.

Lectură suplimentară

• en Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2 februarie 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (ed. 8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 
• en Apostol, Tom M. (iunie 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• en Apostol, Tom M. (iunie 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 
• en Eves, Howard (2 ianuarie 1990), An Introduction to the History of Mathematics (ed. 6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 
• en Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28 februarie 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (ed. 4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 
• en Spivak, Michael (septembrie 1994), Calculus (ed. 3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• en Stewart, James (24 decembrie 2002), Calculus (ed. 5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 
• en Thompson, Silvanus P. (8 septembrie 1998), Calculus Made Easy (ed. Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0 

Cărți online

• en Crowell, Benjamin (2003), Calculus 
• en Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus 
• en Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus 
• en Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals 
• en Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, arhivat din original la 15 aprilie 2006 
• en Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations 
• en Strang, Gilbert (1991), Calculus 
• en Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, arhivat din original la 11 septembrie 2005 
• en Wikibooks, Calculus 

Legături externe

• en Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points