Funcție convexă

Graficul unei funcţii convexe

În matematică, o funcție reală de valori reale este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.

Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.

Noțiuni introductive

Definiție: Fie $I\subseteq\mathbb{R}$ un interval și $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție.

$f$ este convexă dacă $\forall x_{1}, x_{2}\in I$ și $\forall\lambda\in(0, 1)$ este satisfăcută inegalitatea $f((1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2})\leq (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).$

$f$ este strict convexă dacă $\forall x_{1}, x_{2}\in I$ și $\forall\lambda\in(0, 1)$ este satisfăcută inegalitatea $f((1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2})< (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).$

$f$ este concavă dacă $\forall x_{1}, x_{2}\in I$ și $\forall\lambda\in(0, 1)$ este satisfăcută inegalitatea $f((1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2})\geq (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).$

$f$ este strict concavă dacă $\forall x_{1}, x_{2}\in I$ și $\forall\lambda\in(0, 1)$ este satisfăcută inegalitatea $f((1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2})> (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).$

Semnificație geometrică

Fie $f:I\rightarrow\mathbb{R}$; fixăm $x_{1}, x_{2}\in I, x_{1}<x_{2}$ și $0<\lambda<1$, evident $x_{0}=(1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2}\in (x_{1}, x_{2})$. Punctul $C(x_{0}, f(x_{0}))$ se află pe graficul funcției $f$, iar punctul $C_{1}(x_{0}, (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}))$ se găsește pe segmentul $[AB]$, unde $A(x_{1}, f(x_{1})), B(x_{2}, f(x_{2}))$. Dacă $f$ este convexă atunci graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele $A$ și $B$.

Proprietăți

Teoremă (criteriu de convexitate). Fie $I\subseteq\mathbb{R}$ un interval și $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția $f$ este convexă pe $I$ dacă și numai dacă $f''(x)\geq 0$.

Teoremă. Fie $f_{1}, f_{2}$ funcții convexe definite pe mulțimea convexă $\Omega$. Atunci funcția $a_{1}f_{1}+a_{2} f_{2}$ este convexă oe $\Omega$, oricare $a_{1}, a_{2}\in[0, \infty)$.

Teoremă (Inegalitatea lui Jensen). Fie funcția convexă $f:I\rightarrow\mathbb{R}$. Pentru $\forall$ $n\in\mathbb{N}$ cu $n\geq 2$ și $\forall$ $t_{1},...,t_{n}\in I$, $\forall$ $\alpha_{1},...,\alpha_{n}\in\mathbb{R_{+}}$ cu $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}=1$ are loc inegalitatea $f\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}t_{i}\right)\leq\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(t_{i})$.

Demonstrație: Se demonstrează prin inducție.
Cazul $n=2$ este chiar definiția funcției convexe. Presupunem adevărată afirmația pentru $n$ și să demonstrăm pentru $n+1$.
Fie deci $t_{1},...,t_{n+1}\in I$ și $\alpha_{1},...,\alpha_{n+1}\in\mathbb{R_{+}}$ cu $\alpha_{1}+...+\alpha_{n+1}=1$.

1. Dacă $\alpha_{n+1}=1$ atunci concluzia rezultă imediat.
2. Dacă $\alpha_{n+1}\neq1$ atunci
   

$t:=\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{k}t_{k}=(1-\alpha_{n+1})s+\alpha_{n+1}t_{n+1}$

unde $s=\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha_{k}}{1-\alpha_{n+1}}t_{k}.$
Conform ipotezei avem: $f(t)\leq(1-\alpha_{n+1})f(s)+\alpha_{n+1}f(t_{n+1})\leq(1-\alpha_{n+1})\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha_{k}}{1-\alpha_{n+1}}f(t_{k})+\alpha_{n+1}f(t_{n+1})=\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{k}f(t_{k}).$

Exemple

• Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^{2}$ este convexă.
• Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=a^{x}, a>0, a\neq 1$ este convexă.

Bibliografie

1. Viorel Lupușor, Vasile Pop, Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a, Dacia Educațional, 2004.
2. Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol. 2, Editura Eurobit Timișoara, 1997.
3. Gheorghe Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985.