Funcție convexă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Graficul unei funcţii convexe

În matematică, o funcție reală de o variabilă reală este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.

Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.

Noțiuni introductive[modificare | modificare sursă]

Definiție: Fie un interval și o funcție.

este convexă dacă și este satisfăcută inegalitatea

este strict convexă dacă și este satisfăcută inegalitatea

este concavă dacă și este satisfăcută inegalitatea

este strict concavă dacă și este satisfăcută inegalitatea

Semnificație geometrică[modificare | modificare sursă]

Fie ; fixăm și , evident . Punctul se află pe graficul funcției , iar punctul se găsește pe segmentul , unde . Dacă este convexă atunci graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele și .

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Teoremă (criteriu de convexitate). Fie un interval și o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția este convexă pe dacă și numai dacă .

Teoremă. Fie funcții convexe definite pe mulțimea convexă . Atunci funcția este convexă pe , oricare .

Teoremă (Inegalitatea lui Jensen). Fie funcția convexă . Pentru cu și , cu are loc inegalitatea .

Demonstrație: Se demonstrează prin inducție.
Cazul este chiar definiția funcției convexe. Presupunem adevărată afirmația pentru și să demonstrăm pentru .
Fie deci și cu .

  1. Dacă atunci concluzia rezultă imediat.
  2. Dacă atunci

unde
Conform ipotezei avem:

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Funcția este convexă.
  • Funcția este convexă.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  1. Viorel Lupușor, Vasile Pop, Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a, Dacia Educațional, 2004.
  2. Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol. 2, Editura Eurobit Timișoara, 1997.
  3. Gheorghe Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985.

Vezi și[modificare | modificare sursă]