Funcție convexă

În matematică, o funcție reală de valori reale este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.

Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exexemplu în probleme de optimizare, rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, rezolvarea ecuațiilor.

Noțiuni introductive

Definiție: Fie $I\subset\mathbb{R}$ un interval și $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție. Vom spune că $f$ este convexă dacă $\forall x_{1}, x_{1}\in\mathbb{R}$ și $\lambda\in(0, 1)$ avem inegalitatea $f((1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2})\leq (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).$

Dacă inegalitatea este strictă, funcția $f$ se numește strict convexă, iar daca inegalitatea $<, \leq$ se înlocuiește cu $>, \geq$ funcția $f$ se numește funcție strict concavă, respectiv concavă.

Semnificație geometrică

Fie $f:I\rightarrow\mathbb{R}$; fixăm $x_{1}, x_{2}\in I, x_{1}<x_{2}$ și $0<\lambda<1$, evident $x_{0}=(1-\lambda) x_{1}+\lambda x_{2}\in (x_{1}, x_{2})$. Punctul $C(x_{0}, y_{0})$ se află pe graficul funcției $f$, iar punctul $C_{1}(x_{0}, (1-\lambda)f(x_{1})+\lambda f(x_{2}))$ se găsește pe segmentul $[AB]$, unde $A(x_{1}, f(x_{1})), B(x_{2}, f(x_{2}))$. Așadar $f$ este convexă dacă graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele A, B.

Graficul unei funcţii convexe

Proprietăți

Teoremă. (Criteriu de convexitate). Fie $I\subseteq\mathbb{R}$ un interval și $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția $f$ este convexă pe $I$ dacă și numai dacă $f''(x)\geq 0$.

Teoremă. Fie $f_{1}, f_{2}$ funcții convexe definite pe mulțimea convexă $\Omega$. Atunci funcția $a_{1}f_{1}+a_{2} f_{2}$ este convexă oe $\Omega$, oricare $a_{1}, a_{2}\in[0, \infty)$.

Inegalitatea lui Jensen: Fie $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},$ o funcție și $a, b\in \mathbb{R}, a<b$. Funcția $f$ este convexă pe $[a, b]$ dacă și numai dacă oricare ar fi punctele $x_{1}, x_{2},..., x_{n}\in[a, b]$ și oricare ar fi numerele $t_{1}, t_{2},..., t_{n}\in[0, 1]$ cu $\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1$ are loc inegalitatea $f\left(\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)\leq\sum_{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})$.

Exemple

• Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^{2}$ este convexă.
• Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=a^{x}, a>0, a\neq 1$ este convexă.

Referințe

1. Calcul Diferențial și Integral-Gheorghe Sirețchi, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985

2. Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a-dr. Vasile Pop, Viorel Lupușor, Dacia Educațional, 2004.