Graficul unei funcţii convexe
În matematică, o funcție reală de o variabilă reală este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.
Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.
Definiție: Fie
un interval și
o funcție.
este convexă dacă
și
este satisfăcută inegalitatea
este strict convexă dacă
și
este satisfăcută inegalitatea
este concavă dacă
și
este satisfăcută inegalitatea
este strict concavă dacă
și
este satisfăcută inegalitatea
Fie
; fixăm
și
, evident
. Punctul
se află pe graficul funcției
, iar punctul
se găsește pe segmentul
, unde
. Dacă
este convexă atunci graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele
și
.
Teoremă (criteriu de convexitate). Fie
un interval și
o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția
este convexă pe
dacă și numai dacă
.
Teoremă. Fie
funcții convexe definite pe mulțimea convexă
. Atunci funcția
este convexă pe
, oricare
.
Teoremă (Inegalitatea lui Jensen). Fie funcția convexă
. Pentru
cu
și
,
cu
are loc inegalitatea
.
Demonstrație: Se demonstrează prin inducție.
Cazul
este chiar definiția funcției convexe. Presupunem adevărată afirmația pentru
și să demonstrăm pentru
.
Fie deci
și
cu
.
- Dacă
atunci concluzia rezultă imediat.
- Dacă
atunci
unde 
Conform ipotezei avem:
- Funcția
este convexă.
- Funcția
este convexă.
- Viorel Lupușor, Vasile Pop, Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a, Dacia Educațional, 2004.
- Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol. 2, Editura Eurobit Timișoara, 1997.
- Gheorghe Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985.