Derivată direcțională

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În analiza matematică, derivata direcțională permite evaluarea variației locale a unei funcții de mai multe variabile într-un punct dat și după o anumită direcție. Reprezintă o generalizare a noțiunii de derivată parțială și un caz particular al diferențialei Gâteaux.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Cazul 2D[modificare | modificare sursă]

Definiție. Fie o funcție reală, diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar Dacă următoarea limită există și este finită:

atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității în punctul și se notează cu

Alte notații echivalente utilizate sunt sau

Observație: Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată. Astfel dacă de exemplu obținem derivata parțială după direcția axei

Observație: Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru în jurul lui și efectuând limita, se deduce că derivata după o direcție se calculează astfel:

sau, utilizând notația:

Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:

Relația dintre derivata după direcția și vectorul gradient este:

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Se consideră câmpul vectorial: și se cere determinarea lui în direcția în punctul

Rezolvare. Derivatele parțiale sunt:

Derivata după o direcție este:

iar în punctul