Derivată direcțională

În analiza matematică, derivata direcțională permite evaluarea variației locale a unei funcții de mai multe variabile într-un punct dat și după o anumită direcție. Reprezintă o generalizare a noțiunii de derivată parțială și un caz particular al diferențialei Gâteaux.

Definiție

Cazul 2D

Definiție. Fie $f:D\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ o funcție reală, diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar $\mathbf {u} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j} .$ Dacă următoarea limită există și este finită:

$\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}$

atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității $\mathbf {u}$ în punctul $(x,y)\in D$ și se notează cu $D_{\mathbf {u} }f:$

$D_{\mathbf {u} }\;f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}.$

Alte notații echivalente utilizate sunt $\nabla f$ sau ${\frac {df}{d\mathbf {u} }}.$

Observație: Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată. Astfel dacă de exemplu $\mathbf {u} =\mathbf {i}$ obținem derivata parțială după direcția axei $x:$

$D_{\mathbf {i} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+t,y)-f(x,y)}{t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y).$

Observație: Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru $f(x+ta,y+tb)$ în jurul lui $(x,y)\in D$ și efectuând limita, se deduce că derivata după o direcție se calculează astfel:

$D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)-f(x,y)}{t}}=a{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)+b{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)$

sau, utilizând notația: $f_{,x}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y).$

$D_{u}f(x,y)=af_{,x}(x,y)+bf_{,y}(x,y).$

Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:

$grad\;f=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} .$

Relația dintre derivata după direcția $\mathbf {u}$ și vectorul gradient este:

$D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} .$

Exemplu

Se consideră câmpul vectorial: $f(x,y)=4-x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}$ și se cere determinarea lui $D_{\mathbf {u} }f$ în direcția $\mathbf {u} =\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\mathbf {i} +\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)\mathbf {j}$ în punctul $(1,2).$

Rezolvare. Derivatele parțiale sunt:

$f_{,x}=-2x,\;f_{,y}=-{\frac {1}{2}}y.$

Derivata după o direcție este:

$D_{\mathbf {u} }f(x,y)=f_{x}(x,y)\cos \theta +f_{y}(x,y)\sin \theta =(-2x)\cos {\frac {\pi }{3}}+\left(-{\frac {1}{2}}y\right)\sin {\frac {\pi }{3}},$

iar în punctul $(1,2):$

$D_{\mathbf {u} }f(1,2)=(-2)\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)+(-1)\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)=(-2)\left({\frac {1}{2}}\right)+(-1)\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-1-{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$