Teorema lui Fermat

Teorema lui Fermat este o teoremă de analiză matematică, numită astfel după Pierre de Fermat. Ea dă o metodă de a găsi punctele de maxim și minim ale unei funcții derivabile. Valoarea derivatei în aceste puncte este 0. Astfel, problema determinării punctelor de maxim și minim ale unei funcții se reduce la obținerea soluțiilor unei ecuații.

Enunț

Fie $f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ o funcție și se presupune că $\displaystyle x_0 \in (a,b)$ este un punct de maxim (sau minim) local al funcției $\displaystyle f$. Dacă $\displaystyle f$ este derivabilă în $\displaystyle x_0$ atunci $\displaystyle f'(x_0) = 0$.

Demonstrație

Presupunem că $\displaystyle x_0$ este un maxim (o considerație similară se poate face în cazul că $\displaystyle x_0$ este un minim). Atunci $\exists \, \delta > 0$ astfel ca $(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (a,b)$ și avem $f(x_0) \ge f(x)\, \forall x$ cu $\displaystyle |x - x_0| < \delta$. Prin urmare pentru orice $h \in (0,\delta)$ avem

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.$

Deoarece limita acestui raport când $\displaystyle h$ tinde spre 0 există și este egală cu $\displaystyle f'(x_0)$ se trage concluzia că $f'(x_0) \le 0$. Pe de altă parte, pentru $h \in (-\delta,0)$ avem

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0$

unde, de asemenea, limita când $\displaystyle h$ tinde spre 0 există și este egală cu $\displaystyle f'(x_0)$ se trage concluzia că $f'(x_0) \ge 0$.

Prin urmare rezultă că $\displaystyle f'(x_0) = 0$.

Vezi și

• Derivată
• Punct de inflexiune
• Pierre de Fermat
• Mica teoremă a lui Fermat
• Marea teoremă a lui Fermat

Legături externe

• en Teorema lui Fermat la Planetmath
• en Demonstrația teoremei lui Fermat la Planetmath