Teorema cleștelui

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza matematică, Teorema cleștelui sau criteriul cleștelui furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie (an), (bn), (xn) trei șiruri cu proprietățile:

  •  a_n \le x_n \le b_n,  \forall n \ge n_0;
  •  \lim_{n \to \infty} a_n =  \lim_{n \to \infty} b_n = a.

Atunci șirul (xn) este convergent și are limita a.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum  a_n \rightarrow a, \;  b_n \rightarrow a, va exista un rang  n_{\epsilon} \ge n_0 astfel încât:

 \forall n \ge n_{\epsilon} să fie îndeplinite condițiiile:  a_n - a < \epsilon și  b_n - a < \epsilon.

De aici:

 \forall n \ge n_{\epsilon}, \; \; - \epsilon < a_n - a \le x_n - a \le b_n -a < \epsilon,

ceea ce arată că:

 \lim_{n \to \infty } x_n = a.

Exemplificare[modificare | modificare sursă]

Cu ajutorul criteriului cleștelui se poate calcula limita seriei:

 \lim_{n \to \infty} \left (  \frac {1} {\sqrt {n^2+1}} + \frac {1}{\sqrt {n^2+2}} + \cdots + \frac {1} {\sqrt {n^2+kn}}  \right ), k \in \mathbb N.

Rezolvare

Se notează:

 a_n = \frac {1} {\sqrt {n^2+1}} + \frac {1}{\sqrt {n^2+2}} + \cdots + \frac {1} {\sqrt {n^2+kn}}

Se observă că:

 \frac {1}{\sqrt {n^2 + kn} } + \cdots + \frac {1}{\sqrt {n^2 + kn} } \; \; (de \; kn \; ori) \; \; \le a_n \le \frac {1}{\sqrt {n^2 + 1} }  + \cdots +\frac {1}{\sqrt {n^2 + 1} }   \; \; (de \; kn \; ori) \; \; \iff
 \iff  \; \; \frac {kn}{n^2+ kn} \le a_n \le \frac {kn}{n^2+ 1}, \; \forall n \in \mathbb N^*
(1)

Deoarece:

 \lim_{n \to \infty} \frac {kn}{\sqrt {n^2+ kn} } = \lim_{n \to \infty} \frac {kn}{n \sqrt {1 + \frac kn} },
  \lim_{n \to \infty} \frac {k}{ \sqrt {1 + \frac kn} }  = k \; \;   și   \; \; \lim_{n \to \infty} \frac {kn} {\sqrt {n^1 +1} } = \lim_{n \to \infty} \frac {k}{\sqrt {1 + \frac {1}{n^2}} } = k.

Prin urmare:

 \lim_{n \to \infty} \frac {kn}{\sqrt {n^2 + kn} } = \lim_{n \to \infty} \frac {kn}{\sqrt {1 + \frac {1}{n^2} } }= k
(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul cleștelui, rezultă:

 \lim_{n \to \infty} a_n= k.