Suspensie (topologie)

Suspensia unui cerc. Spațiul inițial este cel albastru, iar punctele de reducere sunt verzi.

În topologie, o ramură a matematicii, suspensia unui spațiu topologic X se obține intuitiv prin alungirea lui X într-un cilindru și apoi reducerea ambelor fețe de capăt (baze) la puncte. X este văzut ca fiind „suspendat” între aceste puncte.

Spațiul SX este uneori numit spațiul neredus, fără bază sau suspendat liber al lui X, pentru a-l distinge de suspensia redusă ΣX a unui spațiu punctat descris mai jos.

Suspensia redusă poate fi utilizată pentru a construi un omomorfism din grupurile de omotopie^⁠(d), căruia i se aplică teorema suspensiei Freudenthal. În teoria omotopiei^⁠(d) fenomenele care sunt conservate prin suspensie într-un sens adecvat alcătuiesc teoria omotopiei stabile^⁠(d).

Definiția și proprietățile suspensiei

Suspensia $SX$ unui spațiu topologic $X$ este spațiul definit ca:

$SX=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},$

unde fiecare $v_{i}$ este un punct, iar $p_{i}$ este proiecția acestui punct.

Asta înseamnă că suspensia $SX$ este rezultatul atașării cilindrului $X\times [0,1]$ pe fețele sale, $X\times \{0\}$ și $X\times \{1\}$, la punctele $v_{i}$ de-a lungul proiecțiilor $p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}$.

Se poate vedea suspensia ca două conuri având baza X lipite împreună pe bazele lor. Este, de asemenea, homeomorf cu cuplajul $X\star S^{0},$ unde $S^{0}$ este un spațiu discret cu două puncte.

În termeni aproximativi, S mărește dimensiunea unui spațiu cu unu: de exemplu, pentru n ≥ 0 se trece de la o n-sferă la o (n+1)-sferă.

Având o aplicație continuă $f:X\rightarrow Y$, există o aplicație continuă $Sf:SX\rightarrow SY$ definită de $Sf([x,t]):=[f(x),t],$ unde parantezele pătrate denotă clasele de echivalență. Aceasta face din $S$ un functor din categoria spațiilor topologice în sine.

Suspensie redusă

Dacă X este un spațiu punctat cu punctele de bază x₀, există o variantă la suspensie, care uenori este mai folositoare. Suspensia 'redusă' sau suspensia bazată ΣX a lui X este spațiul cât:

$\Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)$.

Asta este echivalent cu a considera SX și a reduce dreapta (x₀ × I ) contopind cele două puncte de capăt într-unul singur. Punctul de bază a spațiului punctat ΣX este clasa de echivalență a lui (x₀, 0).

Se poate arăta că suspensia redusă a lui X este homeomorfă cu smash-produsul^⁠(d) lui X cu cercul trigonometric S¹:

$\Sigma X\cong S^{1}\wedge X$

Pentru spațiile comune, cum ar fi CW complexele, suspensia redusă a lui X este echivalentă omotopic cu suspensia nebazată.

Bibliografie

• en Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN: 0-521-79160-X and ISBN: 0-521-79540-0
• en Acest articol cuprinde material de la Suspension de la PlanetMath, licențiat cu Creative Commons Atribuire/Distribuire în condiții identice.