Morfism de grupuri

În matematică, o funcție f : G → G' se numește morfism de grupuri în următoarele condiții: G și G' admit fiecare o structură de grup, cu operațiile notate • și respectiv $\circ$, iar f(x•y) = f(x)$\circ$f(y), $\forall$ x,y$\in$ G.

Proprietăți

1. Dacă e și e' sunt elementele neutre ale lui G si G' atunci f(e)=e'.
2. $\forall$ x $\in$ G, $f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}$.
3. θ : G → G', θ(x)=e', x $\in$ G este evident morfism de grupuri numit morfismul nul.
4. Compunerea de morfisme de grupuri este tot un morfism de grupuri.
5. 1_G : G → G, 1_G(x) = x, x $\in$ G este evident morfism de grupuri numit morfismul identic al grupului G. În plus, dacă f : G → G' este morfism de grupuri atunci au loc: f ∘ 1_G = f și 1_G' ∘ f = f.
6. f este izomorfism de grupuri dacă și numai dacă f este bijecție.

Vezi și

Izomorfism