Fracție continuă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o fracție continuă este o expresie obținută în urma unui proces iterativ de reprezentare a unui număr ca suma unor numere întregi și inverse ale unor întregi.

Este de forma:

x= a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac {b_2}{a_2 + \frac {b_3}{a_3 + \ldots}}}, \!

unde a_0, a_1, \ldots \! și b_1, b_2, \ldots \! sunt numere întregi.

Acest tip de fracții au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum, 1653.

Orice x \in \mathbb R \! se poate reprezenta ca o fracție continuă:

x=a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \ldots}} = [a_0; a_1, a_2, \ldots], \!

unde a_0 \in \mathbb Z \! și a_i \in \mathbb N \! pentru orice i \ge 1. \!

Numerele raționale se reprezintă ca fracții continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracție continuă infinită se numește periodică dacă există numerele naturale nenule k, m \! astfel ca a_{k+i+j}= a_{k+j}, \; \forall i \in \mathbb N, \; \forall j \in \{ 1, 2, \ldots , m \}. \! În acest caz, fracția continuă se reprezintă sub forma

\bigg [ a_0; a_1, a_2, \ldots , a_k, \overline {a_{k+1}}, a_{k+2}, \ldots , a_{k+m} \bigg ]. \!

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din \mathbb Z[X] \! se numește irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracție continuă dacă și numai dacă este o irațională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă r \in \mathbb Q, \; r>1, \! nu este un pătrat perfect, atunci:

\sqrt r = \bigg [ a_0; \overline {a_1, a_2, \ldots a_2, a_1, 2a_0}  \bigg ], \!

(Lagrange, Galois). În particular, dacă D \in \mathbb N^* \! este liber de pătrate, atunci \sqrt D \! se reprezintă printr-o fracție continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele m-1 \! câturi parțiale formează un șir palindromic.

Lungimea l(\sqrt D) \! a perioadei fracției continue care reprezintă pe \sqrt D \! este mai mică decât 2D, \! iar câturile parțiale sunt mai mici decât 2 \sqrt D \! (Lagrange). Mai recent[1][2] s-a arătat că l(\sqrt D) =\mathcal O(\sqrt D \ln D), \! unde simbolul \mathcal O \! înseamnă asimptotic proporțional cu.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Hickerson, Dean R. (1973), Length of Period of Simple Continued Fraction Expansion of \sqrt d, Pacific J. Math. 46: 429-432
  2. ^ Podsypanin, E. V. (1982), Length of Period of a Quadratic Irrational, Journal of Soviet Mathematics 18: 919-923.