Teorema lui Heine

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

este și uniform-continuă.


În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f   :   [a , b]   →  

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

astfel încât

Deoarece poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

devine


Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:


Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

astfel încât:

.

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există astfel încât pentru orice

putem găsi două puncte și în X cu:

și

Șirul are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

iar limita sa .

Deoarece

avem

convergent, cu limita


Așadar, dacă n tinde către

și deoarece f este continuă:

.

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]