Continuitate uniformă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În matematică, și mai ales în analiză, condiția ca o funcție să fie unform continuă este mai puternică decât continuitatea simplă, sau așazisă continuitate punctuală, și mai puțin puternică decât condiția de a fi lipschitziană. În mod intuitiv, distanța dintre valorile funcției dintre două puncte nu depinde de distanța punctelor înseși.


Continuitatea punctuală poate fi definită bunăoară în orice spațiu topologic. În schimb, continuitatea uniformă are nevoie de un spațiu uniform, deorece definiția se bazeaza pe compararea mărimii vecinătăților.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie (Xd1), (Yd2) două spații metrice, o funcție. Se spune că f e uniform continuă .


Dacă , atunci distanța este modulul, iar definiția devine: f uniform continuă


Note[modificare | modificare sursă]

Diferența dintre continuitate și continuitatea uniformă este că în cea dintâi , deci depinde de punctul x_0 considerat, în timp ce aici avem că . Se dă definția de continuitate simplă pentru comparație – se va vedea că poziția quantificatorului universal , aparent arbitrară, este defapt crucială:

f continuă .

Exemple[modificare | modificare sursă]

Exemplul clasic pentru a arăta că nu orice funcție este uniform continuă este , funcție continuă dar nu uniform continuă. Înainte de a se demonstra acest lucru, se arată că:

(1) Fie e uniform continuă. Fie . Din definiție,

Deoarece s-a găsit un astfel încât acesta este dependent doar de , putem conclude că este uniform continuă.


(2) Fie . Atunci, având fixat un oarecare x0,


Se ia deoarece funcția este definită doar între (0, 1], iar cel de-al doilea argument al operatorului poate potențial să iasă din intervalul considerat. Acum se caută cel mai bun pentru care se se respectă condițiile:

Este asftel clar că depinde de x_0 iar f nu e uniform continuă.

Lectură suplimentară[modificare | modificare sursă]

  • Bourbaki, Nicolas. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. ISBN 0-387-19374-X. 
  • Rudin, Walter (). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
  • Salsa, Sandro. Analisi matematica: 1. ISBN 8808092593. 


Nuvola apps edu mathematics-p.svgArticolul Continuitate uniformă este un subiect de care se ocupă Proiectul Matematică, o inițiativă de a construi o listă cuprinzătoare și detaliată cu informații despre matematică Dacă doriți să participați la acest proiect, vă rugăm să vă înscrieți aici.
NeclasificatAcest articol încă nu a fost evaluat pe scala de calitate.
NeclasificatAcest articol încă nu a fost evaluat pe scala de importanță.

Format:Ciot matematică