Teorema creșterilor finite

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema creșterilor finite (cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval.

Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).[1][2]

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie un interval, funcția și cu . Dacă:

  • este continuă pe intervalul închis [a,b],
  • este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),

atunci există astfel încât: (formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite)

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Aplicând teorema lui Cauchy (a doua teoremă a mediei) pentru rezultă:

Dar , deci:

.

Interpretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Interpretare geometrică: pentru orice funcție f(x) continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b) există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f.

O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f(x) continuă pe intervalul [a, b] și derivabilă pe (a, b). Conform acestei teoreme, există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f (a se vedea figura alăturată).

Consecințe ale teoremei creșterilor finite[modificare | modificare sursă]

Consecința 1[modificare | modificare sursă]

Fie un interval. O funcție este constantă pe dacă și numai dacă are derivata nulă pe .

Demonstrație

Necesitatea este evidentă.

Suficiența: Dacă are derivata nulă pe și cu atunci din teorema lui Lagrange există cu și deci , adică este constantă pe .

Consecința 2[modificare | modificare sursă]

Fie un interval și derivabile pe . Funcțiile și au aceași derivată pe dacă și numai dacă există cu pentru orice (adică și diferă printr-o constantă).

Demonstrație

Funcțiile și au aceeași derivată pe dacă și numai dacă funcția derivabilă are derivată nulă pe . Din Consecința 1 acest fapt are loc dacă și numai dacă este constantă, ceea ce implică afirmația din enunț.

Consecința 3[modificare | modificare sursă]

Fie un interval cu și continuă pe și derivabilă pe . Atunci

i) este crescătoare pe dacă și numai dacă, pentru orice ;

ii) este descrescătoare pe dacă și numai dacă, pentru orice ;

iii) este strict crescătoare pe dacă și numai dacă:

  • , pentru orice ;
  • mulțimea este densă în ;

iv) este strict descrescătoare pe dacă și numai dacă:

  • , pentru orice ;
  • mulțimea este densă în .
Demonstrație

i)Necesitatea

Dacă este crescătoare pe atunci pentru orice :

;

Suficiența

Dacă atunci pentru orice și cu avem (din teorema lui Lagrange) că există și deci , adică este crescătoare pe .

ii) rezultă din (i) aplicat pentru funcția descrescătoare .

iii) Necesitatea

Dacă este strict crescătoare pe , atunci din (i) rezultă ca pe are .Dacă pe un anumit interval deschis am avea pentru orice atunci restricția funcției la ar fi constantă, ceea ce contrazice faptul că este strict crescătoare pe .

Suficiența

Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la (iii) atunci este crescătoare pe . Dacă nu ar fi strict crescătoare pe , ar rezulta că există un interval astfel ca restricția funcției la este constantă, adică pentru orice , ceea ce contrazice ipoteza a doua de la (iii).

iv) rezultă din (iii) aplicat pentru funcția .

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ fr Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, (1797), Journal de l'école polytechnique, 9-ème cahier, tome III, §52, p. 49.
  2. ^ Wieleitner, H., Istoria matematicii. De la Descartes pînă la mijlocul secolului al XIX-lea, Editura Științifică, București, 1964, p. 155.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]