Progresie aritmetică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

O progresie aritmetică este un șir de numere astfel încât diferența dintre termenii consecutivi este constantă. De exemplu șirul 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... este o progresie aritmetică cu o diferență comună de 2.

Definiție[modificare | modificare sursă]

O progresie aritmetică este un șir de numere caracterizat printr-o diferență constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma

,   adică  

cu relațiile:

(formula generală);
(formula recurentă);
.

unde este rangul (poziția) termenului în șir (). este primul termen, este al doilea termen etc., iar este rația progresiei ().

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Orice termen al unei progresii aritmetice (cu excepția capetelor) este media aritmetică a predecesorului și succesorului său:

proprietate de la care îi vine și denumirea.

Exemple de progresii aritmetice[modificare | modificare sursă]

  • Șirul numerelor naturale: 0, 1, 2, 3, 4, ... este o progresie aritmetică având rația 1 și primul termen 0;
  • Șirul numerelor naturale impare: 1, 3, 5, 7, ... progresie aritmetică cu rația 2 și primul termen 1.

Suma termenilor unei progresii aritmetice[modificare | modificare sursă]

Suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetică se poate calcula astfel:

Demonstrație

Însumând cele două relații se obține:

Istoric[modificare | modificare sursă]

Se spune[1] ca această formulă ar fi fost descoperită de către Gauss pe când era în clasele primare și a fost pedepsit să adune toate numerele de la 1 la 100. Acesta a format 50 de grupe identice prin însumarea termenilor, în perechi de două numere, în felul următor: termenul de pe prima poziție (1) cu cel de pe ultima (100) formau o pereche, termenul de pe a doua poziție (2) cu penultimul termen (99) formau altă pereche și așa mai departe. În acest fel fiecare pereche are valoarea constantă de 101. Chiar dacă faptul ar fi adevărat, Gauss nu a fost primul care a descoperit această formulă, iar unii consideră că este probabil ca originea ei să fie la pitagoricieni, în secolul al V-lea î.Hr.[2] Reguli similare erau cunoscute în antichitate de Arhimede, Hypsicles și Diofant;[3] în China de Zhang Qiujian; în India de Aryabhata, Brahmagupta și Bhaskara II;[4] și în Europa medievală de Alcuin,[5] Dicuil,[6] Fibonacci,[7] Sacrobosco[8] și de comentatori anonimi ai Talmudului, cunoscuți ca tosafiști.[9]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Hayes, Brian (). „Gauss's Day of Reckoning”. American Scientist. 94 (3): 200. doi:10.1511/2006.59.200. Arhivat din original la . Accesat în . 
  2. ^ en Høyrup, J. The “Unknown Heritage”: trace of a forgotten locus of mathematical sophistication. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
  3. ^ en Tropfke, Johannes (). Analysis, analytische GeometrieAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament. Walter de Gruyter. pp. 3–15. ISBN 978-3-11-108062-8. 
  4. ^ de Tropfke, Johannes (). Arithmetik und AlgebraAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament. Walter de Gruyter. pp. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3. 
  5. ^ en Problems to Sharpen the Young, John Hadley and David Singmaster, The Mathematical Gazette, 76, #475 (March 1992), pp. 102–126.
  6. ^ en Ross, H.E. & Knott,B.I (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers, British Journal for the History of Mathematics, 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
  7. ^ en Sigler, Laurence E. (trans.) (). Fibonacci's Liber AbaciAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 
  8. ^ Katz, Victor J. (edit.) (). Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North AfricaAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament. Princeton University Press. pp. 91,257. ISBN 9780691156859. 
  9. ^ en Stern, M. (1990). 74.23 A Mediaeval Derivation of the Sum of an Arithmetic Progression. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]