Poliabolo

În matematica recreativă, un poliabolo este un tiponim pentru o figură geometrică formată prin lipirea de triunghiuri dreptunghice isoscele latură la latură, formând o poliformă cu triunghiul dreptunghic isoscel ca formă de bază. Poliabolourile au fost introduse de Martin Gardner în iunie 1967, în rubrica sa de jocuri matematice din Scientific American.^[1]

Etimologie[modificare | modificare sursă]

Forma în limba engleză, polyabolo este derivată pornind de la jucăria diabolo, deși forma rezultată prin unirea a două triunghiuri doar printr-un vârf nu este de fapt un poliabolo. Printr-o falsă analogie, interpretând di-ul inițial drept prefixul di- din limba greacă Gardner a propus denumirile figurilor formate din unul până la zece triunghiuri: monabolo, diabolo, triabolo, tetrabolo, pentabolo, hexabolo, heptabolo, octabolo, eneabolo și decabolo. Pentru a respecta construcția, accentul cade pe a.

Enumerare[modificare | modificare sursă]

Există două moduri în care un pătrat dintr-un poliabolo poate fi format din două triunghiuri dreptunghice isoscele, dar poliabolourile sunt considerate echivalente dacă au aceleași laturi. Numărul de poliabolouri neechivalente formate din 1, 2, 3, … triunghiuri este 1, 3, 4, 14, 30, 107, 318, 1116, 3743, …^[2].

Poliabolourile care se limitează strict la plan și nu pot fi răsturnate se numesc „unilaterale”. Numărul de poliabolourilor unilaterale formate din 1, 2, 3, … triunghiuri este 1, 4, 6, 22, 56, 198, 624, 2182, 7448, …^[3]

La fel ca la poliomino, un poliabolo care nu poate fi nici răsturnat, nici rotit poate fi numit fix. Un poliabolo fără simetrii (de rotație sau reflexie) corespunde la 8 poliabolouri fixe distincte.

Un poliabolo care nu este simplu conex este unul care are una sau mai multe găuri în el. Cea mai mică valoare a lui n pentru care un n-abolo nu este simplu conex este 7.

Pavarea dreptunghiurilor cu dale poliabolo de un singur tip[modificare | modificare sursă]

Pavare dreptunghiuri cu poliabolouri

Poliabolo de ordinul 20

În 1968, David A. Klarner a definit ordinul unui poliomino. Similar, ordinul unui poliabolo P poate fi definit ca numărul minim de copii congruente ale lui P care pot fi asamblate (permițând translația, rotația și reflexia) pentru a forma un dreptunghi. Un poliabolo are ordinul 1 dacă și numai dacă este el însuși dreptunghi. Poliabolourile de ordinul 2 sunt, de asemenea, ușor de recunoscut. Solomon W. Golomb a găsit poliabolouri, inclusiv un triabolo, de ordinul 8.^[4] Michael Reid a găsit un heptabolo de ordinul 6.^[5] Sunt posibile ordine superioare.

Există pavări interesante cu poliabolouri ale planului euclidian. Una dintre acestea este pavarea pătrată tetrakis, o pavare monoedrică care umple întregul plan euclidian cu triunghiuri dreptunghice isoscele.

Pavarea unei figuri comune cu diverse poliabolouri[modificare | modificare sursă]

O figură minimală compatibilă pentru tetrabolourile K și V

Problema compatibilității este să se ia două sau mai multe poliabolouri și să se găsească o figură care poate fi pavată cu oricare dintre poliabolourile luate în considerare. Această problemă a fost studiată mult mai puțin decât problema compatibilității pentru poliominouri. Rezultatele sistematice au apărut pentru prima dată în 2004 pe site-ul Math Magic al lui Erich Friedman.^[6]

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Gardner, Martin (iunie 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124–132.
^ Șirul A006074 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Șirul A151519 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ en Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings (2nd ed.). Princeton University Press. p. 101. ISBN 0-691-02444-8.
^ en Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ed. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. p. 349. ISBN 1-58488-301-4.
^ en Friedman, Erich. „Polypolyforms”. Math Magic.