Măsura Lebesgue

Măsura Lebesgue este o modalitate generală de a defini, în spațiul euclidian, "conținutul" unei figuri geometrice, în caz particular, lungime, arie, volum. Numele i se datorează matematicianului francez Henri Lebesgue.

Definiție

Fie $(\mathbb {R} ,B(\mathbb {R} ))$ spațiul măsurabil $\mathbb {R}$ înzestrat cu o algebră boreliană. Există o unică măsură, numită "măsură Lebesgue", notată $\lambda \,$ peste acest spațiu, care posedă proprietățile:

• $\forall a\in \mathbb {R} ,\;\forall A\in B(R),\;\lambda (a+A)=\lambda (A)$

(invarianță la translație)

• $\lambda ([0;1])=1\,$

Exemple

• Intervalele   $[a,b]\,$ și   $(a,b)\,$   au măsura Lebesgue de valoare   $b-a\,$.

• Produsul cartezian al intervalelor $[a,b]\,$ și $[c,d]\,$ are ca măsură Lebesgue aria $(b-a)(d-c)\,$.

• Mulțimea lui Cantor este nenumărabilă și are măsură Lebesgue nulă.

Vezi și

• Teoria măsurii