Algebră booleană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Logică booleană)
Jump to navigation Jump to search

Algebra booleană, numită și Logica booleană, este un subdomeniu al matematicii în care legile gândirii - obiectul de studiu al logicii clasice - sunt studiate cu ajutorul metodelor simbolice. Denumirea aceasta a fost dată în onoarea matematicianului englez George Boole, care în lucrarea The Laws of Thought („Legile gândirii”), publicată în 1853, a pus bazele aceste algebre.

Algebra booleană este formată din:

  • elementele {0,1};
  • 2 operații binare numite SAU și SI, notate simbolic cu + sau Ú și × sau U;
  • 1 operatie unară numită NU (negație), notată simbolic 0 sau O.

Operații[modificare | modificare sursă]

Operațiile se definesc astfel:

ȘI; SAU; NU

  • 0 × 0 = 0; 0 + 0 = 0; 0 = 1.
  • 0 × 1 = 0; 0 + 1 = 1; 1 = 0:
  • 1 × 0 = 0; 1 + 0 = 1.
  • 1 × 1 = 1; 1 + 1 = 1.

Axiome[modificare | modificare sursă]

Axiomele algebrei booleene sunt următoarele: Fie o mulțime M compusă din elementele x1, x2,...xn, împreună cu operațiile × si +. Această mulțime formează o algebră dacă:

Mulțimea M conține cel puțin 2 elemente distincte x1 1 x2 (x1,x2I M);

Pentru x1 I M, x2 I M avem:

x1 + x2 I M și x1 × x2 I M

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Operațiile × si + au urmatoarele proprietati:

sunt comutative

x1 × x2 = x2 × x1

x1 + x2 = x2 + x1

sunt asociative

x1 × (x2 × x3) = (x1 × x2) × x3

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3

sunt distributive una față de cealaltă

x1 × (x2 + x3) = x1 × x2 + x1 × x3

x1 + (x2 × x3) = (x1 + x2) × (x1 + x3)

Ambele operații admit câte un element neutru cu proprietatea:

x1 + 0 = 0 + x1 = x1

x1 × 1 = 1 × x1 = x1

unde 0 este elementul nul al mulțimii, iar 1 este elementul unitate al mulțimii. Dacă mulțimea M nu conține decât două elemente, acestea trebuie să fie obligatoriu elementul nul 0 și elementul unitate 1; atunci pentru " x I M există un element unic notat cu x, cu proprietățile: x × x = 0 principiul contradicției x + x = 1 principiul terțului exclus x este inversul elementului x.

În definirea axiomatică a algebrei booleene s-au folosit diferite notații. In tabelul următor se dau denumirile și notațiile specifice folosite pentru diverse domenii:

Matematică, Logică, Tehnică

Prima lege de compoziție

x1 + x2

Disjunctie

x1 Ú x2

SAU

x1 + x2

A doua lege de compoziție

x1 × x2

Conjuncție

x1 U x2

SI

x1 × x2

Elementul invers

x

Negare

Ox

NU

x

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Crăciun, D., Logică și teoria argumentării, Editura Tehnică, București, 2000.

Legături externe[modificare | modificare sursă]