Lege de compoziție

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În mod frecvent vorbim de operații pe anumite mulțimi. De exemplu operația de scădere a numerelor întregi este un procedeu prin care cuplului de numere întregi (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} îi asociem numărul întreg x-y \in \mathbb{Z}. Este important să considerăm cuplul sau mulțimea ordonată (x,y) și nu mulțimea {x,y}, deoarece contează ordinea în care apar x și y. De exemplu, cuplului (y,x) îi corespunde prin această asociere numărul y-x \in \mathbb{Z}, care în general diferă de x-y.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie M o mulțime nevidă. Numim lege de compoziție internă (operație algebrică) pe mulțimea M orice funcție definită pe M × M cu valori în M:

 * :  M \times M \rightarrow M, (x,y) \mapsto  x * y \!

care asociază fiecărui cuplu (x,y) \in M \times M un element unic  x * y \in M. Elementul  x * y \in M se citește x compus cu y.

O operație algebrică poate fi notată prin mai multe simboluri, de exemplu,  +, -, \times , \oplus, \circ, \bigodot, \cap, \cup, \Delta, \! etc .

Exemple de operații algebrice[modificare | modificare sursă]

  • Adunarea pe mulțimea \mathbb{N}:
 + :  \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, (x,y) \mapsto  x + y. \!
  • Scăderea pe mulțimea  \mathbb{Z} :
 - :  \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, (x,y) \mapsto  x - y. \!
  • Înmulțirea pe mulțimea  \mathbb{R} :
 \circ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto  xy. \!
  • Adunarea pe mulțimea de matrici  \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ):
 + : \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) \times \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) \rightarrow \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ), (X,Y) \mapsto X + Y.


Părți stabile față de operația *[modificare | modificare sursă]

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Prin definiție, o submulțime nevidă  \mathit{H} \subseteq \mathit{M} se numește parte stabilă (inchisă) a lui M față de operația * dacă:

 \forall \mathit{x}, \mathit{y} \in \mathit{H} \Rightarrow \mathit{x} * \mathit{y} \in \mathit{H}

În acest caz restricția operației * la submulțimea H, adică funcția  \circ : \mathit{H} \times \mathit{H} \rightarrow \mathit{H}, ( \mathit{x}, \mathit{y} ) \mapsto \mathit{x} \circ \mathit{y} se numește operație pe H indusă de operația * de pe M.

Cele două operații pe M și pe H au fost notate diferit deoarece ele nu sunt egale ca funcții.


Exemple de părți stabile[modificare | modificare sursă]

  • Submulțimea  \mathbb{Z} este o parte stabilă a lui  \mathbb{R} față de adunare, deci putem spune că adunarea pe  \mathbb{Z} este indusă de adunare de pe  \mathbb{R} .
  • Submulțimea  \mathbb{H} = \left \{ 1, -1, i, -i \right \} este parte a lui  \mathbb{C} stabilă față de înmulțire deoarece produsele elementelor din H se mențin tot în H.


Proprietățile unei operații[modificare | modificare sursă]

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Spunem că:

1° Operația * este asociativă dacă  (x * y) * z = x * (y * z), \forall x,y,z \in M .

2° Operația * este comutativă dacă  x * y = y * x, \forall x,y \in M

3° Operația * are elementul neutru e dacă  \exists e \in M astfel încât  x * e = e * x = x, \forall x \in M .

4° Dacă operația * are elementul neutru  e \in M , spunem că un element  x \in M este simetrizabil față de operația * dacă  \exists x^\prime \in M astfel încât  x * x^\prime = x^\prime * x = e (x′ se numește simetricul lui x).

Tabla Cayley[modificare | modificare sursă]

Ea este un tabel cu  n linii și  n coloane, unde  n=card M , liniile și coloanele fiind etichetate fiecare cu câte unul din cele  n elemente ale lui  M .

Tabla Cayley a operației * conține la intersecția liniei de etichetă  x  cu coloana de etichetă  y , elementul  x * y . 

Fie  a_1,a_2,...,a_n cele n elemente ale mulțimii  M , atunci forma standard a tablei Cayley este:

TABLA CAYLEY
  *   a_1 ...  a_j ...  a_n
 a_1
...
 a_i  a_i * a_j
...
 a_n


Tabla Cayley asociată perechii  (M,*) permite vizualizarea operației * și testarea rapidă a unor proprietăți pe care le verifică operația *. Dacă forma standard a perecii  (M,*) este dată de tabla de mai sus, atunci matricea  A=(a_ij) , unde  a_ij=a_i*a_j ,  \forall i,j\in N și se numește matricea asociată perechii . (M,*) Comutativitatea unei operații algebrice definită pe o mulțime finită se poate testa imediat examinând tabla sa Cayley: comutativitate ce înseamnă  a_i*a_j=a_j*a_i ,pentru orice i,j.Adică tabla sa Cayley este simetrică față de diagonala principală.

Comentarii și exemple[modificare | modificare sursă]

1° În notația aditivă (+) elementul neutru se notează cu 0 și se numește element nul, iar simetricul unui element x se notează cu -x și se numește opusul lui x. De exemplu, adunarea pe mulțimea \mathbb{Z} este asociativă, comutativă și are elementul neutru 0, iar orice element x \in \mathbb{Z} este simetrizabil față de adunare,având simetricul -x.

2° În notația multiplicativă elementul neutru este notat cu 1 sau cu e și se numește element unitate, iar simetricul unui element x se notează cu x-1 sau cu  \frac{1}{x} și se numește inversul lui x. Elementul x care are element invers se numește element inversabil. De exemplu, înmulțirea pe mulțimea \mathbb{Z} este asociativă, comutativă și are elementul neutru 1, dar singurele elemente simetrizabile în \mathbb{Z} față de înmulțire sunt 1 cu simetricul 1 și -1 cu simetricul -1, celelalte elemente nu sunt simetrizabile deoarece simetricele lor nu aparțin mulțimii \mathbb{Z}. Înmulțirea pe \mathbb{R} este asociativă, comutativă, are elementul neutru 1 și toate elementele sunt simetrizabile, deoarece toate elementele sunt inversabile, iar inversele lor aparțin lui \mathbb{R}.

Propoziție[modificare | modificare sursă]

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Atunci:

1° Dacă operația * are elementul neutru  e \in M , acesta este unic determinat.

2° Dacă operația * este asociativă și are elementul neutru e, iar  x \in M , este un element simetrizabil, atunci simetricul  x^\prime \in M , al lui x este unic determinat.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

1° Dacă  e^\prime \in M ar fi un alt element neutru , atunci  e * e^\prime = e , deoarece  e^\prime este element neutru, dar și  e * e^\prime = e^\prime , deoarece e \! este element neutru, prin urmare  e = e^\prime.

2° Dacă  x^{\prime\prime} ar fi un alt simetric al elementului  x \in M , atunci, ținând seama că x * x^{\prime\prime} = e și x * x^\prime = e avem:  x^\prime = x^\prime * e = x^\prime * (x * x^{\prime\prime}) = ( x^\prime * x) * x^{\prime\prime} = e * x^{\prime\prime} = x^{\prime\prime} , deci  x^\prime = x^{\prime\prime} .


Vezi și[modificare | modificare sursă]


Referințe[modificare | modificare sursă]

Cărți[modificare | modificare sursă]

  • Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2 
Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
  • Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6 
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

Articole[modificare | modificare sursă]

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Resurse online[modificare | modificare sursă]

Definition of commutativity and examples of commutative operations
Explanation of the term commute
Examples proving some noncommutative operations
Article giving the history of the real numbers
Page covering the earliest uses of mathematical terms
Biography of Francois Servois, who first used the term