Integrare prin părți

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Teoremă

Dacă funcțiile $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!$ sunt derivabile și au derivate continue pe $[a,b]\!$ atunci are loc egalitatea:

$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.\!$

unde simbolul $\int f(x)g'(x)dx\!$ reprezintă mulțimea primitivelor funcției $fg',\!$ iar $\int f'(x)g(x)dx\!$ reprezintă mulțimea primitivelor funcției $f'g.\!$

Demonstrație.

Funcția $h=fg\!$ are derivată continuă pe $[a,b]\!$ și

$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!$

Fie acum $\varphi \in \int f(x)g'(x)dx\!$ și diferența $\psi =\varphi -fg.\!$ Prin derivare se obține egalitatea:

$\psi '=\varphi '-f'g-fg'=-f'g\!$

care arată că $\psi \in -\int f'g.\!$

Astfel am obținut că funcția $\varphi =fg+\psi \!$ și $\psi \in -\int f'g.\!$ Altfel spus, $\varphi \in fg-\int f'g.\!$ Analog se arată că oricare ar fi $\psi \in -\int f'(x)g(x)dx,\!$ funcția $\varphi =fg+\psi \in \int f(x)g'(x)dx.\!$

Consecință.

Dacă funcțiile $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!$ au derivate continue pe $[a,b],\!$ atunci are loc egalitatea:

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx\!$

Exemple

Exemplul 1

Să se calculeze $\int x\cos xdx.$

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

• $f(x)=x$
• $g(x)=\cos x.$

Calculăm derivata lui f: $f'(x)=x'=1.$

Integrăm pe g: $\int g(x)dx=\int \cos xdx=\sin x.$

Deci $\int x\cos xdx=x\sin x-\int 1\sin xdx=x\sin x+\cos x+{\mathcal {C}}.$

Exemplul 2

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

$I_{n}=\int \cos ^{n}xdx.\!$

Integrând prin părți rezultă:

$I_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\!$

De aici avem:

$nI_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}\!$

Această formulă împreună cu egalitățile $I_{0}=x\!$ și $I_{1}=\sin x\!$ conduc la evaluarea primitivei $I_{n},\!$ pentru $n\in \mathbb {N} .\!$

Vezi și

• Integrare prin schimbare de variabilă

Legături externe

• en eMathHelp
• en MathIsFun.com