Integrare prin schimbare de variabilă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În analiza matematică, integrarea prin schimbarea de variabilă (sau prin substituție) este un procedeu de integrare care constă în înlocuirea unei variabile (sau a unei funcții) printr-o altă funcție sau alt parametru. Există două astfel de metode.

Prima metodă de schimbare de variabilă[modificare | modificare sursă]

Această metodă se aplică pentru aflarea primitivei unei funcții care poate fi scrisă sub forma:

unde   este o funcție derivabilă, iar

Dacă funcția f admite o primitivă F, adică     atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:

deci   este o primitivă a lui h.

Teoremă (prima metodă de schimbare de variabilă)[modificare | modificare sursă]

Fie I, J intervale din   și

   

funcții cu proprietățile:

  φ este derivabilă pe I,
  f admite primitive (fie F o primitivă a sa).

Atunci funcția   admite primitive, iar funcția   este o primitivă a lui   adică:

Demonstrație. Funcția F fiind o primitivă a lui f, este derivabilă pe J și   Însă φ este derivabilă pe I (ipoteza (α)), deci și     este derivabilă pe I și:

Așadar, funcția     este o primitivă a lui  

A doua metodă de schimbare de variabilă[modificare | modificare sursă]

Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă H a funcției     și se cere să se găsească o primitivă F a funcției f; F se obține din H astfel:

Vezi și[modificare | modificare sursă]