Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.
Dacă funcțiile
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!}
derivabile și au derivate continue pe
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\!}
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.\!}
unde simbolul
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g'(x)dx\!}
primitivelor funcției
f
g
′
,
{\displaystyle fg',\!}
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f'(x)g(x)dx\!}
f
′
g
.
{\displaystyle f'g.\!}
Demonstrație .
Funcția
h
=
f
g
{\displaystyle h=fg\!}
derivată continuă pe
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\!}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!}
Fie acum
φ
∈
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \varphi \in \int f(x)g'(x)dx\!}
ψ
=
φ
−
f
g
.
{\displaystyle \psi =\varphi -fg.\!}
ψ
′
=
φ
′
−
f
′
g
−
f
g
′
=
−
f
′
g
{\displaystyle \psi '=\varphi '-f'g-fg'=-f'g\!}
care arată că
ψ
∈
−
∫
f
′
g
.
{\displaystyle \psi \in -\int f'g.\!}
Astfel am obținut că funcția
φ
=
f
g
+
ψ
{\displaystyle \varphi =fg+\psi \!}
ψ
∈
−
∫
f
′
g
.
{\displaystyle \psi \in -\int f'g.\!}
φ
∈
f
g
−
∫
f
′
g
.
{\displaystyle \varphi \in fg-\int f'g.\!}
ψ
∈
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \psi \in -\int f'(x)g(x)dx,\!}
φ
=
f
g
+
ψ
∈
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \varphi =fg+\psi \in \int f(x)g'(x)dx.\!}
Consecință .
Dacă funcțiile
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!}
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],\!}
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx\!}
Să se calculeze
∫
x
cos
x
d
x
.
{\displaystyle \int x\cos xdx.}
Mai întâi alegem funcțiile f și g :
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
g
(
x
)
=
cos
x
.
{\displaystyle g(x)=\cos x.}
Calculăm derivata lui f :
f
′
(
x
)
=
x
′
=
1.
{\displaystyle f'(x)=x'=1.}
Integrăm pe g :
∫
g
(
x
)
d
x
=
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
.
{\displaystyle \int g(x)dx=\int \cos xdx=\sin x.}
Deci
∫
x
cos
x
d
x
=
x
sin
x
−
∫
1
sin
x
d
x
=
x
sin
x
−
cos
x
+
C
.
{\displaystyle \int x\cos xdx=x\sin x-\int 1\sin xdx=x\sin x-\cos x+{\mathcal {C}}.}
Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:
I
n
=
∫
cos
n
x
d
x
.
{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}xdx.\!}
Integrând prin părți rezultă:
I
n
=
cos
n
−
1
x
⋅
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
−
(
n
−
1
)
I
n
{\displaystyle I_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\!}
De aici avem:
n
I
n
=
cos
n
−
1
x
⋅
sin
x
+
(
n
−
1
)
I
n
−
2
{\displaystyle nI_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}\!}
Această formulă împreună cu egalitățile
I
0
=
x
{\displaystyle I_{0}=x\!}
I
1
=
sin
x
{\displaystyle I_{1}=\sin x\!}
I
n
,
{\displaystyle I_{n},\!}
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .\!}
![{\displaystyle f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce8471b48ac43369a7e0b7b9db0c2e3596c34cc)
![{\displaystyle [a,b]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db8e01502a6bed98f89b7bb2127c620f288f605)
![{\displaystyle [a,b],\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19391a656cd2ab149e920ba6e02644025c32d264)
