Integrare prin părți

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Teoremă[modificare | modificare sursă]

Dacă funcțiile sunt derivabile și au derivate continue pe atunci are loc egalitatea:

unde simbolul reprezintă mulțimea primitivelor funcției iar reprezintă mulțimea primitivelor funcției


Demonstrație.

Funcția are derivată continuă pe și

Fie acum și diferența Prin derivare se obține egalitatea:

care arată că

Astfel am obținut că funcția și Altfel spus, Analog se arată că oricare ar fi funcția


Consecință.

Dacă funcțiile au derivate continue pe atunci are loc egalitatea:

Exemple[modificare | modificare sursă]

Exemplul 1[modificare | modificare sursă]

Să se calculeze

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

Calculăm derivata lui f:

Integrăm pe g:

Deci

Exemplul 2[modificare | modificare sursă]

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

Integrând prin părți rezultă:

De aici avem:

Această formulă împreună cu egalitățile și conduc la evaluarea primitivei pentru

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]