Integrare prin părți

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Teoremă

Dacă funcțiile $f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb R \!$ sunt derivabile și au derivate continue pe $[a, b] \!$ atunci are loc egalitatea:

$\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx. \!$

unde simbolul $\int f(x) g'(x) dx \!$ reprezintă mulțimea primitivelor funcției $fg', \!$ iar $\int f'(x) g(x)dx \!$ reprezintă mulțimea primitivelor funcției $f'g. \!$

Demonstrație.

Funcția $h = fg \!$ are derivată continuă pe $[a, b] \!$ și

$h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \!$

Fie acum $\varphi \in \int f(x) g'(x) dx \!$ și diferența $\psi = \varphi -fg. \!$ Prin derivare se obține egalitatea:

$\psi' = \varphi' - f'g - fg' = - f'g \!$

care arată că $\psi \in - \int f'g. \!$

Astfel am obținut că funcția $\varphi = fg + \psi \!$ și $\psi \in - \int f'g. \!$ Altfel spus, $\varphi \in fg - \int f'g. \!$ Analog se arată că oricare ar fi $\psi \in - \int f'(x)g(x)dx, \!$ funcția $\varphi = fg + \psi \in \int f(x)g'(x)dx. \!$

Consecință.

Dacă funcțiile $f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb R \!$ au derivate continue pe $[a, b], \!$ atunci are loc egalitatea:

$\int_a^b f(x) g'(x) dx = f(b)g(b) - f(a) g(a) - \int_a^b f'(x) g(x) dx \!$

Exemple

Exemplul 1

Să se calculeze $\int x \cos x dx.$

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

• $f(x) = x$
• $g(x) = \cos x .$

Calculăm derivata lui f: $f'(x) = x' =1.$

Integrăm pe g: $\int g(x) dx = \int \cos x dx = \sin x.$

Deci $\int \cos x dx = x \sin x - \int 1 \sin x dx = x \sin x - \cos x + \mathcal C.$

Exemplul 2

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

$I_n = \int \cos ^n x dx. \!$

Integrând prin părți rezultă:

$I_n = \cos^{n-1} x \cdot \sin x +(n-1) I_{n-2} - (n-1)I_n \!$

De aici avem:

$nI_n = \cos^{n-1} x \cdot \sin x +(n-1) I_{n-2} \!$

Această formulă împreună cu egalitățile $I_0 = x \!$ și $I_1 = \sin x \!$ conduc la evaluarea primitivei $I_n, \!$ pentru $n \in \mathbb N. \!$

Vezi și

• Integrare prin schimbare de variabilă

Legături externe

• en Karl's Calculus Tutor
• en MathIsFun.com