Curgere incompresibilă

În mecanica fluidelor sau, în general, mecanica mediilor continue, curgerea incompresibilă se referă la o curgere în care densitatea fiecărui element de fluid (un element material de volum infinitezimal care se deplasează cu viteza fluidului) rămâne constantă în timp. O formulare echivalentă pentru o curgere incompresibilă este că divergența câmpului de viteze este nulă (vedeți demonstrația de mai jos, care arată echivalența acestor condiții).

Curgerea incompresibilă nu implică în mod necesar că fluidul este, ca material, perfect incompresibil. În anumite condiții, chiar și curgerea fluidelor compresibile poate fi modelată, cu o bună aproximație, ca fiind incompresibilă.

Derivare

Condiția esențială pentru o curgere incompresibilă este ca densitatea, $\rho$, să rămână constantă pentru un element material de volum mic, dV, care se deplasează odată cu fluidul, având viteza u. Din punct de vedere matematic, această cerință înseamnă că derivata materială^⁠(d) a densității trebuie să fie nulă. Pentru a ajunge la această relație, pornim de la principiul conservării masei. Masa conținută într-un volum se exprimă prin integrală de volum a densității, $\rho$:

${m}={\iiint \limits _{V}\rho \,\mathrm {d} V}.$

Principiul conservării masei afirmă că variația în timp a masei din interiorul unui volum de control este egală cu fluxul de masă, J, care traversează suprafața acestuia. În formă matematică, relația se scrie ca o integrală de suprafață:

${\partial m \over \partial t}=-$ $S$ $\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Semnul negativ indică faptul că un flux de masă orientat spre exterior determină scăderea masei din interiorul volumului de control. Convenția provine din orientarea vectorului normal al suprafeței spre exterior. Aplicând teorema divergenței^⁠(d), obținem:

${\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}(\nabla \cdot \mathbf {J} )\,\mathrm {d} V},$

de unde rezultă:

${\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .$

Derivata parțială a densității în raport cu timpul nu trebuie, în general, să fie nulă pentru o curgere incompresibilă. Aceasta descrie variația densității într-un volum de control fix în spațiu, în timp ce fluidul curge prin acesta. Astfel, chiar și un fluid compresibil poate prezenta o curgere aproximativ incompresibilă. Mărimea relevantă este variația densității pentru un element material de volum dV care se deplasează cu viteza u. Fluxul de masă este legat de viteza fluidului prin relația:

$\mathbf {J} =\rho \mathbf {u} .$

Prin urmare, conservarea masei conduce la ecuația:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )={\partial \rho \over \partial t}+\nabla \rho \cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )=0.$

Această relație, obținută prin aplicarea regulii produsului, este cunoscută drept ecuația de continuitate. Considerăm în continuare derivata totală^⁠(d) a densității (folosind regula derivării funcțiilor compuse):

${\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.$

Dacă alegem un volum de control care se deplasează cu aceeași viteză ca fluidul (adică (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = u), expresia de mai sus devine derivata materială^⁠(d):

${D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+\nabla \rho \cdot \mathbf {u} .$

Folosind ecuația de continuitate, rezultă:

${D\rho \over Dt}=-\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} ).$

O variație a densității în timp ar corespunde comprimării sau dilatării elementului de fluid (sau modificării masei conținute în volumul material dV), ceea ce este exclus prin definiția curgerii incompresibile. În consecință, derivata materială a densității trebuie să fie nulă, iar pentru o densitate nenulă aceasta implică:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Astfel, pornind de la conservarea masei și de la condiția ca densitatea unui element material de fluid să rămână constantă, se arată că o condiție necesară și echivalentă pentru curgerea incompresibilă este ca divergența câmpului de viteze să fie zero.

Relația cu compresibilitatea

În multe aplicații, un indicator al gradului de incompresibilitate al unei curgeri este sensibilitatea densității la variațiile de presiune. Această proprietate este descrisă prin compresibilitate (uneori exprimată prin inversul modulului de elasticitate cubică), definită ca:

$\beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.$

Dacă compresibilitatea este suficient de mică (adică variațiile de densitate produse de variațiile de presiune sunt neglijabile), curgerea poate fi considerată, cu o bună aproximație, incompresibilă.

Relația cu câmpul solenoidal

O curgere incompresibilă este caracterizată printr-un câmp de viteze solenoidal, adică un câmp vectorial cu divergență nulă. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că nu există surse sau puțuri de masă în domeniul de curgere, iar volumul elementelor materiale de fluid se conservă în timp.

Un câmp solenoidal poate avea însă o rotație nenulă, deci curgerea poate fi vorticoasă chiar dacă este incompresibilă.

O subcategorie importantă a curgerilor incompresibile este reprezentată de curgerile irotaționale^⁠(d). În acest caz, rotația câmpului de viteze este nulă, iar câmpul de viteze este un câmp potențial, putând fi exprimat ca gradientul unui potențial scalar al vitezei.

Diferența față de proprietatea materialului

După cum s-a arătat anterior, o curgere incompresibilă este definită prin condiția:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Aceasta este echivalentă cu relația:

${\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,$

adică derivata materială^⁠(d) a densității este nulă. Prin urmare, dacă urmărim un element material de fluid, densitatea acestuia rămâne constantă în timp.

Derivata materială este alcătuită din doi termeni:

• Primul termen, ${\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}$, reprezintă variația locală a densității în timp la o poziție fixă (termen de acumulare).
• Al doilea termen, $\mathbf {u} \cdot \nabla \rho$, descrie variația densității datorată deplasării elementului material în câmpul de curgere (termen de advecție sau convecție pentru un câmp scalar).

Pentru o curgere incompresibilă, suma acestor doi termeni trebuie să fie nulă.

Pe de altă parte, un material omogen și incompresibil este un material cu densitate constantă în întregul său volum, astfel încât:

$\rho ={\text{const.}}$

Această ipoteză implică, independent de mișcarea fluidului:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ și

$\nabla \rho =0.$

Din ecuația de continuitate rezultă atunci:

${\frac {D\rho }{Dt}}=0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Prin urmare, un material omogen și incompresibil conduce în mod natural la curgeri incompresibile, însă reciproca nu este în mod necesar valabilă: un fluid compresibil poate prezenta o curgere aproximativ incompresibilă dacă variațiile de densitate sunt neglijabile.

Constrângeri de curgere asociate

În dinamica fluidelor, o curgere este considerată incompresibilă dacă divergența câmpului de viteze este nulă. În funcție de modelul fizic utilizat, pot apărea și alte forme de constrângeri apropiate de această condiție:

1. Curgere incompresibilă: $\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$ Această formulare poate corespunde fie unei densități strict constante, fie unor situații cu variații mici ale densității, presiunii și/sau temperaturii, tratate ca perturbații.
2. Curgere anelastică: $\nabla \cdot (\rho _{0}\mathbf {u} )=0.$ Utilizată în special în științele atmosferice^⁠(d) și în astrofizică, această aproximație permite existența unei densități de fundal stratificate, filtrând în același timp undele acustice rapide.
3. Curgere la număr Mach mic (pseudo-incompresibilă): $\nabla \cdot (\alpha \mathbf {u} )=\beta .$ Această constrângere poate fi derivată din ecuațiile Euler compresibile prin analiză adimensională. Ea elimină propagarea undelor acustice, dar permite variații semnificative ale densității și/sau temperaturii, cu condiția ca numărul Mach să rămână mic (de regulă < 0,3). În aceste modele, variațiile de presiune sunt mici față de starea de bază.

Aceste formulări diferă prin ipotezele fizice adoptate, dar au în comun ideea unei constrângeri de tip $\nabla \cdot (\alpha \mathbf {u} )=\beta$, unde $\alpha$ și $\beta$ sunt funcții dependente de proprietățile curgerii.

Aproximări numerice

Caracterul constrâns al ecuațiilor pentru curgeri incompresibile a condus la dezvoltarea unor metode numerice dedicate pentru rezolvarea lor. Printre cele mai utilizate se numără:

1. Metoda de proiecție^⁠(d): problema este împărțită într-o etapă de predicție a câmpului de viteze și o etapă de corecție, în care viteza este proiectată pe un câmp cu divergență nulă pentru a satisface condiția de incompresibilitate.
2. Metoda compresibilității artificiale: se introduce o compresibilitate artificială mică în ecuațiile de curgere incompresibilă, obținându-se un sistem similar cu ecuațiile compresibile Navier–Stokes, care poate fi rezolvat cu scheme numerice standard.
3. Precondiționarea compresibilității: constă în modificarea sistemului discret al ecuațiilor pentru a îmbunătăți condiționarea numerică și a accelera convergența metodelor iterative de rezolvare.

Vezi și

• Ecuația lui Bernoulli
• Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)
• Ecuațiile Navier–Stokes