Ecuația lui Bernoulli

Presiunea statică din amonte (1) este mai mare decât în zona de strangulare (2), iar viteza fluidului în punctul „1” este mai mică decât în punctul „2” deoarece aria secțiunii transversale la „1” este mai mare decât la „2”.

Demonstrație a relației între presiunea dinamică și cea statică, respectiv principiul lui Bernoulli. Când se suflă, presiunea dinamică între hârtie și placa metalică crește. Conform principiului lui Bernoulli, în acest caz presiunea statică între placă și hârtie scade, ceea ce face ca hârtia să adere la placă.

Principiul lui Bernoulli este un principiu fizic în dinamica fluidelor, care pune în relație presiunea, viteza și înălțimea. Pentru un fluid care curge orizontal, principiul afirmă că o creștere a vitezei are loc simultan cu o scădere a presiunii. Principiul poartă numele matematicianului și fizicianului elvețian Daniel Bernoulli care l-a publicat în lucrarea Hydrodynamica din 1738. Deși Bernoulli a dedus că presiunea scade atunci când viteza crește, Leonhard Euler a formulat în 1752 ecuația lui Bernoulli în forma sa obișnuită.^[1]^[2]

Ecuația lui Bernoulli, în forma simplă pentru un fluid incompresibil și fără viscozitate, este:

p+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh=constant

, unde p este presiunea statică, ρ densitatea fluidului, v viteza, g accelerația gravitațională, iar h înălțimea.

Principiul lui Bernoulli este o consecință a principiului conservării energiei: într-un regim staționar, suma energiei cinetice, a energiei potențiale și a energiei interne rămâne constantă. Astfel, o creștere a vitezei fluidului, corespunzătoare unei creșteri a energiei cinetice, are loc cu o scădere simultană a presiunii statice și a energiei potențiale. Dacă fluidul curge dintr-un rezervor, energia pe unitate de volum (suma dintre presiune și potențialul gravitațional ρgh este aceeași peste tot.^[1]

Principiul poate fi dedus și din a doua lege a mișcării formulată de Isaac Newton. Atunci când un fluid curge orizontal dintr-o regiune de presiune ridicată către o regiune de presiune scăzută, presiunea exercitată din spate este mai mare decât cea din față. Aceasta generează o forță netă asupra volumului de fluid, accelerându-l de-a lungul liniei de curent.^[1]

Particulele de fluid sunt supuse doar presiunii și propriei greutăți. Dacă un fluid curge orizontal de-a lungul unei porțiuni a unei linii de curent, atunci o creștere a vitezei se poate explica numai prin faptul că fluidul din acea porțiune s-a deplasat dintr-o regiune cu presiune mai mare într-una cu presiune mai mică. În schimb, o scădere a vitezei se poate explica numai prin deplasarea dintr-o regiune cu presiune mică într-una cu presiune mai mare. Prin urmare, într-un fluid care curge orizontal, viteza maximă apare acolo unde presiunea este minimă, iar viteza minimă apare acolo unde presiunea este maximă.^[3]

Principiul lui Bernoulli este aplicabil doar pentru fluxurile izentropice: atunci când efectele proceselor ireversibile (cum ar fi turbulența) și ale proceselor neadiabatice (de exemplu radiația termică) sunt mici și pot fi neglijate. Cu toate acestea, principiul poate fi aplicat mai multor tipuri de flux în aceste limite, rezultând diverse forme ale ecuației lui Bernoulli. Forma simplă a ecuației lui Bernoulli este valabilă pentru fluxurile incompresibile (de exemplu, majoritatea curgerilor de lichide și gaze care se mișcă la numere Mach mici). Forme mai avansate pot fi aplicate fluxurilor compresibile la numere Mach mai mari.^[1]

Concepții greșite

Profil aerodinamic

Una dintre cele mai frecvente explicații eronate ale portanței aerodinamice susține că aerul trebuie să parcurgă părțile superioară și inferioară ale unei aripi în același interval de timp, implicând că, deoarece suprafața superioară prezintă un traseu mai lung, aerul trebuie să se miște mai repede deasupra aripii decât dedesubt. Principiul lui Bernoulli este apoi invocat pentru a concluziona că presiunea de deasupra aripii trebuie să fie mai mică decât cea de dedesubt.^[4]

Timpul egal de tranzit se aplică pentru curgerea în jurul unui corp care nu generează portanță, dar nu există niciun principiu fizic care să impună un timp egal de tranzit în cazul corpurilor care generează portanță. De fapt, teoria prezice și experimentele confirmă, că aerul traversează suprafața superioară a unui corp care experimentează portanță într-un timp mai scurt decât traversează suprafața inferioară, iar explicația bazată pe timpul egal de tranzit este falsă. Deși explicația timpului egal este incorectă, nu principiul lui Bernoulli este fals.^[4]

Demonstrații comune la clasă

Unele demonstrații obișnuite în sălile de clasă sunt adesea explicate greșit prin invocarea principiului lui Bernoulli. De exemplu, dacă se ține orizontal o bucată de hârtie și se suflă aer deasupra ei, hârtia se ridică. Explicația frecvent dată este că „aerul care se mișcă mai repede are presiune mai mică”.

Această explicație este incorectă, deoarece hârtia se ridică indiferent dacă aerul rapid este deasupra sau dedesubt, iar aerul care părăsește gura demonstratorului are aceeași presiune ca aerul înconjurător. Principiul lui Bernoulli nu poate fi folosit pentru a compara două fluxuri diferite de aer. Acesta se aplică doar în cadrul unui singur flux de fluid.^[5]^[6]

Explicația corectă este că aerul urmează curba hârtiei și generează un gradient de presiune perpendicular pe direcția fluxului: presiunea este mai mică pe partea interioară a curbei, ceea ce ridică hârtia. Principiul lui Bernoulli este respectat deoarece o scădere a presiunii în flux este asociată cu creșterea vitezei aerului, dar acest efect este vizibil doar în cadrul fluxului curbat, nu prin compararea fluxurilor de deasupra și dedesubt.^[7]

Alte demonstrații frecvente în sălile de clasă, precum suflarea între două sfere suspendate, umflarea unui sac mare sau suspendarea unei mingi într-un curent de aer, sunt uneori explicate în mod eronat prin afirmația „aerul care se mișcă mai repede are presiune mai mică”.^[8]

Note

1 2 3 4 Darrigol, O.; Frisch, U. (2008), „From Newton's mechanics to Euler's equations”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237 (14–17): 1855–1869, Bibcode:2008PhyD..237.1855D, doi:10.1016/j.physd.2007.08.003
↑ Anderson, J.D. (2016), „Some reflections on the history of fluid dynamics”, În Johnson, R.W., Handbook of fluid dynamics (ed. 2nd), CRC Press, ISBN 9781439849576
↑ Resnick, R.; Halliday, D. (1960). Physics. John Wiley & Sons. section 18–4.
1 2 Babinsky, Holger (1 noiembrie 2003), „How do wings work?”, Physics Education, 38 (6), pp. 497–503, doi:10.1088/0031-9120/38/6/001, ISSN 0031-9120
↑ Babinsky, Holger (1 noiembrie 2003), „How do wings work?”, Physics Education, 38 (6), pp. 497–503, doi:10.1088/0031-9120/38/6/001, ISSN 0031-9120
↑ Smith, Norman F. (1973), „Bernoulli, Newton, and Dynamic Lift Part I*: Bernoulli's Theorem: Paradox or Physical Law?”, School Science and Mathematics (în engleză), 73 (3), pp. 181–186, doi:10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x, ISSN 0036-6803
↑ Smith, Norman F. (1973), „Bernoulli, Newton, and Dynamic Lift Part II*: Bernoulli or Newton?”, School Science and Mathematics (în engleză), 73 (4), pp. 327–335, doi:10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x, ISSN 0036-6803
↑ Smith, Norman F. (1 noiembrie 1972), „Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics”, The Physics Teacher (în engleză), 10 (8), pp. 451–455, doi:10.1119/1.2352317, ISSN 0031-921X

[:0-1] 1 2 3 4 Darrigol, O.; Frisch, U. (2008), „From Newton's mechanics to Euler's equations”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237 (14–17): 1855–1869, Bibcode:2008PhyD..237.1855D, doi:10.1016/j.physd.2007.08.003

[Anderson2016-2] Anderson, J.D. (2016), „Some reflections on the history of fluid dynamics”, În Johnson, R.W., Handbook of fluid dynamics (ed. 2nd), CRC Press, ISBN 9781439849576

[3] Resnick, R.; Halliday, D. (1960). Physics. John Wiley & Sons. section 18–4.

[:1-4] 1 2 Babinsky, Holger (1 noiembrie 2003), „How do wings work?”, Physics Education, 38 (6), pp. 497–503, doi:10.1088/0031-9120/38/6/001, ISSN 0031-9120

[5] Babinsky, Holger (1 noiembrie 2003), „How do wings work?”, Physics Education, 38 (6), pp. 497–503, doi:10.1088/0031-9120/38/6/001, ISSN 0031-9120

[6] Smith, Norman F. (1973), „Bernoulli, Newton, and Dynamic Lift Part I*: Bernoulli's Theorem: Paradox or Physical Law?”, School Science and Mathematics (în engleză), 73 (3), pp. 181–186, doi:10.1111/j.1949-8594.1973.tb08998.x, ISSN 0036-6803

[7] Smith, Norman F. (1973), „Bernoulli, Newton, and Dynamic Lift Part II*: Bernoulli or Newton?”, School Science and Mathematics (în engleză), 73 (4), pp. 327–335, doi:10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x, ISSN 0036-6803

[8] Smith, Norman F. (1 noiembrie 1972), „Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics”, The Physics Teacher (în engleză), 10 (8), pp. 451–455, doi:10.1119/1.2352317, ISSN 0031-921X

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]