Curbură geodezică

În geometria riemanniană^⁠(d) curbura geodezică $k_{g}$ a unei curbe $\gamma$ măsoară cât de departe este curba de a fi o geodezică. De exemplu, pentru o curbă unidimensională de pe o suprafață bidimensională încorporată în spațiul tridimensional, este curbura curbei proiectată pe planul tangent la suprafață. Mai general, într-o varietate ${\bar {M}}$ dată, curbura geodezică este doar curbura obișnuită a curbei $\gamma$ (vezi mai jos). Totuși, când curba $\gamma$ este restricționată să se afle pe o subvarietate $M$ a ${\bar {M}}$ (de exemplu, la curbele de pe suprafețe), curbura geodezică se referă la curbura $\gamma$ în $M$ și în general este diferită de curbura $\gamma$ din varietatea ambientală ${\bar {M}}$. Curbura (ambientală) $k$ a $\gamma$ depinde de doi factori: curbura subvarietății $M$ în direcția $\gamma$ (curbura normală $k_{n}$), care depinde numai de direcția curbei și de curbura $\gamma$ văzută în $M$ (curbura geodezică $k_{g}$), care este o mărime de ordinul al doilea. Relația dintre acestea este $k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}$. În special, geodezicele de pe $M$ au curbură geodezică zero (sunt „drepte”), astfel încât $k=k_{n}$, ceea ce explică de ce par curbate în spațiul ambiental ori de câte ori subvarietatea este curbată.

Definiție

Fie o curbă $\gamma$ într-o varietate ${\bar {M}}$, parametrizată prin lungimea arcului^⁠(d), cu versorul tangent $T=d\gamma /ds$. Curbura sa este norma derivatei covariante^⁠(d) a $T$: $k=\|DT/ds\|$. Dacă $\gamma$ se află pe $M$, curbura geodezică este norma proiecției derivatei covariante $DT/ds$ pe spațiul tangent la subvarietate. Invers, curbura normală este norma proiecției $DT/ds$ pe fibratul normal la subvarietate în punctul considerat.

Dacă varietatea ambientală este spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$, atunci derivata covariantă $DT/ds$ este chiar derivata obișnuită $dT/ds$.

Exemplu

Fie $M$ sfera unitate $S^{2}$ in spațiul euclidian tridimensional. Curbura normală a lui $S^{2}$ este 1, independent de direcția luată în considerare. Cercurile mari au curbură $k=1$, deci au curbură geodezică zero, prin urmare sunt geodezice. Cercurile mai mici cu raza $r$ vor avea curbură $1/r$ și curbură geodezică $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$.

Unele rezultate care implică curbura geodezică

• Curbura geodezică nu este alta decât curbura obișnuită a curbei atunci când este calculată intrinsec în subvarietatea $M$. Nu depinde de modul în care subvarietatea $M$ se află în ${\bar {M}}$.
• Geodezicele $M$ au curbură geodezică zero, ceea ce este echivalent cu a spune că $DT/ds$ este ortogonală cu spațiul tangent la $M$.
• Pe de altă parte, curbura normală depinde foarte mult de modul în care se află subvarietatea în spațiul ambiental, dar marginal de curbă: $k_{n}$ depinde doar de punctul de pe subvarietate și de direcția $T$, dar nu de $DT/ds$.
• În geometria generală riemanniană, derivata este calculată folosind conexiunea Levi-Civita ${\bar {\nabla }}$ a varietății ambientale: $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$. Ea are o parte tangentă și o parte normală la subvarietate: ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$. Partea tangentă este derivata obișnuită $\nabla _{T}T$ din $M$ (este un caz particular de ecuație Gauss din ecuațiile Gauss–Codazzi^⁠(d)), în timp ce partea normală este $\mathrm {I\!I} (T,T)$, unde $\mathrm {I\!I}$ este a doua formă fundamentală.
• Teorema Gauss–Bonnet.

Bibliografie

• en do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7 
• en Guggenheimer, Heinrich (1977), „Surfaces”, Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7 .
• en Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Geodesic curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Geodesic curvature la MathWorld.