Teorema Gauss–Bonnet, sau formula Gauss–Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.
Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U homeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S.
Fie 
o regiune simplă și ![{\displaystyle \gamma :[0,l]\rightarrow S\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb74670a7b4c752df285472c5061054494848575)
parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât 
Fie 
vârfurile lui 
unghiurile exterioare corespunzătoare, 
Atunci are loc formula:
unde 
este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui 
K este curbura gaussiană și 
este elementul de suprafață.
Fie 
(pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:
![{\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla X}{d{\mathit {s}}}}{\bigg ]}={\bigg [}{\frac {\nabla \gamma '(s)}{d{\mathit {s}}}}{\bigg ]}=k_{g}(s).\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ca13cec561fb46bc2b53a1dce42337e639f44a)
Utilizăm următoarele leme:
![{\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla Y}{dt}}{\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {\nabla X}{dt}}{\bigg ]}={\frac {d\varphi }{dt}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d7b0f3381e9953e16a9dc3e8d49753075d236f)
Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe 
și 
unghiul dintre 
și X.
Atunci:
![{\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla X}{d{\mathit {t}}}}{\bigg ]}={\frac {1}{2{\sqrt {g_{11}g_{22}}}}}{\bigg \{}{\frac {\partial g_{22}}{\partial u^{1}}}{\frac {du^{2}}{dt}}-{\frac {\partial g_{11}}{\partial u^{2}}}{\frac {du^{1}}{dt}}{\bigg \}}+{\frac {d\varphi }{dt}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7be872de1df826b33650db7f7cffbe2e7d14b1)
Demonstrația lemei.
Normăm câmpurile și 
:
Atunci 
și, conform lemei 1,
![{\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla X}{dt}}{\bigg ]}={\bigg [}{\frac {\nabla e_{1}}{dt}}{\bigg ]}+{\frac {d\varphi }{dt}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1b51281c73662b1108fce9b2523002a7418c68)
