Calcul variațional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.

Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido. Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia. Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur. Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?

Formulare matematică[modificare | modificare sursă]

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele reprezintă capetele firului, graficul funcției definită și derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir și țărm este:

în timp de lungimea firului este:

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:


astfel încât integrala:

să aibă valoarea maximă.

Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.

Se poate raționa și altfel. Fie arcul graficului. În relația:

se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:

Problema revine la a determina funcția definită pe intervalul cu proprietatea că și că integrala:

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

funcțiile fiind deci derivabile pe porțiuni pe Atunci lungimea firului este:

iar aria limitată de fir este:

Problema revine deci la determinarea celor două funcții definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul astfel încât să aibă relația:

și ca integrala:

să fie maximă. Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.