Criteriul lui Raabe-Duhamel

În analiza matematică, regula lui Raabe-Duhamel este un complement al criteriului raportului (D'Alembert), reprezentând unul dintre criteriile de convergență ale seriilor.

Denumirea sa este legată de numele matematicienilor Joseph Ludwig Raabe și Jean-Marie Duhamel.

Se enunță astfel Fie $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ un șir de numere reale cu $a_{n}>0$. Definim un alt sir $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$ si $L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$. Atunci:

• dacă $L<1$, seria $\sum a_{n}$ este divergentă,
• dacă $L>1$, seria $\sum a_{n}$ este convergentă,
• dacă $L=1$ nu putem preciza nimic privind natura seriei (testul este inconcluziv).

Exemplu

Pentru a calcula limita seriei cu termenul general:

$x_{n}=n!\left({\frac {a}{n}}\right)^{n},\;a\in \mathbb {R} ,$

se aplică criteriul Raabe-Duhamel:

$\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {x_{n}}{x_{n+1}}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }\left(\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}{\frac {1}{e}}-1\right)=$

$=n\left(\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}{\frac {1}{e}}-1\right)={\frac {1}{e}}\lim _{n\to \infty }{\frac {(1+{\frac {1}{n}})^{n}-e}{\frac {1}{n}}}.$

Se aplică regula lui l'Hôpital:

$\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\frac {1}{x}}-e}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{{\frac {1}{x}}-1}[x-(1+x)\ln(1+x)]}{x^{2}}}=-{\frac {e}{2}};$

și rezultă că seria este divergentă.

Bibliografie

• fr Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221
• de Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7