Constanta Euler–Mascheroni

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Numere iraționale și probabil iraționale:

γφeπ

Binar 0.100100111100010001...
Decimal 0.5772156649015328606065...
Hexadecimal 0.93C467E37DB0C7A4D1BE...
fracție continuată [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, … ]

(Această fracție continuată nu este periodică.)

În analiza matematică și în teoria numerelor, Constanta Euler-Mascheroni (deasemenea numită și Constanta lui Euler) este o constantă matematică, de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească (gamma). Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni.

Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural:

Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … (șirul A001620 în OEIS).

nu trebuie confundată cu baza logaritmului natural, e, care este câteodată numită numărul lui Euler.

Istorie[modificare | modificare sursă]

Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler, întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu Funcția gamma. De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent. De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional. Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este irațional, numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10242080. Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.

For more equations of the sort shown below, see Gourdon and Sebah (2002).

Relația funcției Gamma[modificare | modificare sursă]

γ este asemănător cu Funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele Funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:

Aceasta este egală cu limitele:

Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):

O limită asemănătoare cu Funcția beta (exprimată în termenii Funcțiilor Gamma) este

Relația cu Funcția Zeta[modificare | modificare sursă]

γ poate fi deasemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ Funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:

Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:

Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n. Ca rezultat, formula este gata pentru computația eficientă a constanei la o mare precizie.

Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrică (Sondow, 1998):

și

Foarte asemănătaore cu aceastea sunt seriile zeta raționale. Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:

unde ζ(s,k) este Funcția zeta Hurwitz. Suma acestei ecuații include numerele armonice, Hn. Extinzând unii termeni în funcția zeta Hurwitz rezultă:

, unde

Integrale[modificare | modificare sursă]

γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:

Integralele definite în care γ este inclus:

Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :

O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:

Aceasta arată că poate fi abordată ca o "Constanta alternativă Euler".

Cele 2 constante sunt deasemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:

unde N1(n) și N0(n) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n.

Deasemenea, aceasta este constanta Catalană din 1875: