Fracție continuă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o fracție continuă este o expresie obținută în urma unui proces iterativ de reprezentare a unui număr ca suma unor numere întregi și inverse ale unor întregi.

Este de forma:

unde și sunt numere întregi.

Acest tip de fracții au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum, 1653.

Orice se poate reprezenta ca o fracție continuă:

unde și pentru orice

Numerele raționale se reprezintă ca fracții continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracție continuă infinită se numește periodică dacă există numerele naturale nenule astfel ca În acest caz, fracția continuă se reprezintă sub forma

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din se numește irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracție continuă dacă și numai dacă este o irațională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă nu este un pătrat perfect, atunci:

(Lagrange, Galois). În particular, dacă este liber de pătrate, atunci se reprezintă printr-o fracție continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele câturi parțiale formează un șir palindromic.

Lungimea a perioadei fracției continue care reprezintă pe este mai mică decât iar câturile parțiale sunt mai mici decât (Lagrange). Mai recent[1][2] s-a arătat că unde simbolul înseamnă asimptotic proporțional cu.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Hickerson, Dean R. (1973), Length of Period of Simple Continued Fraction Expansion of \sqrt d, Pacific J. Math. 46: 429-432
  2. ^ Podsypanin, E. V. (1982), Length of Period of a Quadratic Irrational, Journal of Soviet Mathematics 18: 919-923.