Centrul cercului înscris unui triunghi

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Centru cercului înscris într-un triunghi

În geometria triunghiului, centrul cercului înscris unui triunghi este un punct important al triunghiului. Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Vectorul de poziție[modificare | modificare sursă]

Vectorul de poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

unde    sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Se notează    picioarele bisectoarelor din vârfurile    Conform teoremei bisectoarei:

Rezultă că punctul    împarte segmentul    în raportul    deci:

adică   

Din    rezultă    Dar    deci   

   este bisectoare în triunghiul    deci aplicând teorema bisectoarei:

Rezultă că punctul I împarte segmentul    în raportul    deci

Cum    rezultă că    împarte segmentul    în raportul    deci:

adică:

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

unde  ,   și    sunt coordonatele vârfului triunghiului.