Spaţiu Minkowski
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
 |
Acest articol sau această secţiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteţi ajuta găsind susţinere bibliografică pentru conţinutul paginii. |
În fizică şi matematică, spaţiul Minkowski (sau spaţiul-timp Minkowski) este contextul matematic în care se formulează cel mai convenabil teoria relativităţii restrânse a lui Einstein. În acest context, cele trei dimensiuni obişnuite ale spaţiului sunt combinate cu o a patra dimensiune a timpului pentru a forma o varietate tetradimensională pentru a reprezenta spaţiul-timp. Spaţiul Minkowski îşi trage numele de la matematicianului german Hermann Minkowski.
În fizica teoretică, spaţiul Minkowski este adesea comparat cu un spaţiu euclidian. În timp ce spaţiul euclidian are doar dimensiuni spaţiale, un spaţiu Minkowski are şi o dimensiune temporală. Astfel grupul simetric al unui spaţiu euclidian este grupul euclidian iar pentru un spaţiu Minkowski este grupul Poincaré.
[modifică] Structură
Formal, spaţiul Minkowski este un spaţiu vectorial real echipat cu o formă biliniară nedegenerată simetrică cu signatură metrică (−,+,+,+) (Uneori se preferă şi signatura (+,−,−,−)). Cu alte cuvinte, spaţiul Minkowski este un spaţiu pseudoeuclidian cu n = 4 şi n−k = 1 (într-o definiţie mai largă este permis orice n>1). Elementele spaţiului Minkowski se numesc evenimente sau tetravectori. Spaţiul Minkowski se notează adesea cu R1,3 pentru a evidenţia signatura, deşi se notează şi cu M4 sau doar cu M. Este poate cel mai simplu exemplu de varietate pseudoriemanniană.
[modifică] Produsul scalar Minkowski
Acest produs scalar este similar cu produsul scalar euclidian, dar este folosit pentru a descrie o altă geometrie; geometria este de regulă asociată cu teoria relativităţii. Fie M un spaţiu vectorial real tetradimensional. Produsul scalar Minkowski este o aplicaţie η: M × M → R (adică daţi fiind doi vectori v, w din M definim η(v,w) ca un număr real) care satisface proprietăţile (1), (2), (3) de mai jos, ca şi proprietatea (4):
| 1. | biliniar | η(au + v, w) = aη(u, w) + η(v, w)
oricare ar fi a ∈ R şi u, v, w din M. |
| 2 | simetric | η(v,w) = η(w,v)
oricare ar fi v,w din M. |
| 3. | nedegenerat | dacă η(v,w) = 0 oricare ar fi w ∈ M atunci v = 0. |
Se observă că acesta nu este un produs scalar în sens obişnuit, deoarece nu este pozitiv-definit, adică norma Minkowski a unui vector v, definită ca v2 = η(v,v), nu este neapărat pozitivă. Condiţia de pozitiv-definire a fost înlocuită de o condiţie mai slabă de nedegenerare (orice formă pozitiv-definită este nedegenerată dar nu şi invers). Produsul scalar este astfel indefinit.
Ca şi într-un spaţiu euclidian, doi vectori v şi w sunt consideraţi ortogonali dacă η(v, w) = 0. Dar există o deplasare de paradigmă în spaţiul Minkowski care include evenimente hiperbolic-ortogonale în cazul în care v şi w generează un plan în care η ia valori negative. Această deplasare spre o nouă paradigmă este clarificată prin compararea structurii euclidiene a planului complex cu structura planului numerelor complexe hiperbolice.
Un vector v se numeşte vector unitate dacă v2 = ±1. O bază pentru M constând din vectori unitari ortogonali doi câte doi se numeşte bază ortonormală.
Există o teoremă care afirmă că orice spaţiu prehilbertian care satisface condiţiile de la 1 la 3 de mai sus are întotdeauna o bază ortonormală. Mai mult, teorema afirmă că numărul de vectori unitari pozitivi şi negativi din orice astfel de bază este fix.
A patra condiţie asupra lui η poate fi enunţată astfel:
| 4. | signatura | Forma biliniară η are signatura (-,+,+,+) |
