Sigma-algebră

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

Sigma-algebra reprezintă o noţiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicaţii în teoria probabilităţii şi în stocastică.

Cuprins

[modifică] Definiţie

Considerăm mulţimea \Omega \,. Notă \mathcal P(\Omega) mulţimea părţilor acesteia. Atunci o submulţime \mathcal A a lui \Omega \,

deci \mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)

se numeşte "σ- Algebră" dacă:

1. Mulţimea de bază \Omega \, este element al lui \mathcal A  :

\Omega \in \mathcal A .

2. Dacă \mathcal A conţine o mulţime A, atunci conţine şi complementara acesteia A^c = \Omega \ A \,  :

A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A

3. Dacă un număr finit de mulţimi aparţin lui \mathcal A , atunci şi reuniunea acestora va fi element al lui \mathcal A  :

A_1, A_2, \dots \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb {N}}{A_n} \in \mathcal A

[modifică] Consecinţe

  • Din condiţiile 1 şi 2 rezultă:
\emptyset \in \mathcal A .
  • Dacă A_n \in \mathcal A unde n \in \mathbb{N} , atunci din legile lui De Morgan rezultă:
\bigcap_{n \in \mathbb{N}}{A_n} = \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}}{{A^{\mathrm c}}-n} \right)^c .
  • De aici rezultă imediat că, dacă A_1, A_2, \dots \in \mathcal A , atunci:
\bigcap_{n \in \mathbb{N}}{A_n} \in \mathcal A .
  • Dacă A, B \in \mathcal A atunci
A \ B = A \cap B^{\mathrm c} \in \mathcal A .

Aşadar, \mathcal A este închisă în raport cu diferenţa mulţimilor.

[modifică] Exemple

  • σ- algebră trivială (discretă):
\mathcal A = \mathcal P (\Omega) .
  • σ - algebră grosieră:
\mathcal A = \{\emptyset, \Omega \} .


[modifică] Bibliografie

  • Bobancu, V. - Dicţionar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, Bucureşti, 1974
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, Bucureşti, 1957


[modifică] Vezi şi

[modifică] Legături externe

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Sigma-algebr%C4%83
Unelte personale