Sigma-algebră

Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.

Definiție

Considerăm mulțimea $\Omega$. Notăm $\mathcal P(\Omega)$ mulțimea părților acesteia. Atunci o submulțime $\mathcal A$ a $\mathcal P(\Omega)$, i.e. $\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)$ se numește "σ- Algebră" dacă:

1. Mulțimea de bază $\Omega \,$ este element al lui $\mathcal A$ :

$\Omega \in \mathcal A$ .

2. Dacă $\mathcal A$ conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia $A^c = \Omega \setminus A$ :

$A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A$

3. Dacă un număr finit de mulțimi aparțin lui $\mathcal A$ , atunci și reuniunea acestora va fi element al lui $\mathcal A$ :

$A_1, A_2, \dots \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb {N}}{A_n} \in \mathcal A$

Consecințe

• Din condițiile 1 și 2 rezultă:

$\emptyset \in \mathcal A$ .

• Dacă $A_n \in \mathcal A$ unde $n \in \mathbb{N}$ , atunci din legile lui De Morgan rezultă:

$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}{A_n} = \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}}{{A^{\mathrm c}}} \right)^c$ .

• De aici rezultă imediat că, dacă $A_1, A_2, \dots \in \mathcal A$ , atunci:

$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}{A_n} \in \mathcal A$ .

• Dacă $A, B \in \mathcal A$ atunci

$A \setminus B = A \cap B^{\mathrm c} \in \mathcal A$ .

Așadar, $\mathcal A$ este închisă în raport cu diferența mulțimilor.

Exemple

• σ- algebră trivială (discretă):

$\mathcal A = \mathcal P (\Omega)$ .

• σ - algebră grosieră:

$\mathcal A = \{\emptyset, \Omega \}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• Măsura Lebesgue
• Algebră boreliană

Legături externe

• en Sigma-algebră la Planetmath
• fr Curs referitor la sigma-algebră