Punct antipodal

Pentru punctele geografice antipodale ale Pământului, vedeți antipozi.

În matematică punctele antipodale ale unei sfere sunt acelea diametral opuse între ele (sensul unei astfel de definiții este că o dreaptă trasată din unul la celălalt trece prin centrul sferei deci formează un diametru al ei).^[1]

Termenul se aplică și cercului, precum și oricărei n-sfere.

Un punct antipodal este uneori numit antipod,^[2] care este un cuvânt compus, format din cuvintele grecești „αντι” (anti = opus) și „πόδι” (podi = picior).

Teorie[modificare | modificare sursă]

În matematică conceptul de puncte antipodale este generalizat la sfere din orice dimensiuni: două puncte de pe sferă sunt antipodale dacă sunt opuse față de centru. De exemplu, luând centrul drept origine, acestea sunt puncte cu vectorii $v$ și $-v$ . Pe un cerc, astfel de puncte sunt numite și diametral opuse. Cu alte cuvinte, fiecare dreaptă care trece prin centru intersectează o sferă în două puncte, câte unul pentru fiecare rază din centru, iar aceste două puncte sunt antipodale.

Teorema Borsuk–Ulam^⁠(d) este un rezultat din topologia algebrică^⁠(d) care se ocupă cu astfel de perechi de puncte. Se spune că orice funcție continuă de la $S n$ la $R$ ^$n$ aplică o pereche de puncte antipodale din $S n$ pe același punct din $R$ ^$n$. Aici $S n$ este sfera $n$ -dimensională din spațiul ( $n$ + 1)-dimensional (deci sfera „obișnuită” este $S$ ² iar un cerc este $S$ ¹).

Aplicația antipodală $A$ : $S n \to S n$ , definită de $A$ ( $x$ ) = − $x$ , aplică fiecare punct al sferei pe punctul său antipodal. Este omotopă^⁠(d) cu funcția identitate dacă $n$ este impar, iar gradul ei este (−1)^{$n$ +1}.

Perechea de puncte antipodale pe un poligon convex[modificare | modificare sursă]

O pereche de puncte antipodale pe un poligon convex este o pereche de 2 puncte care admite 2 drepte paralele infinite care sunt tangente la ambele puncte incluse într-un punct antipodal fără a intersecta nicio altă latură a poligonului convex.