Număr perfect

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Numărul perfect este un număr întreg egal cu suma divizorilor săi, din care se exclude numărul însuși. Astfel, dacă  n este numărul întreg, avem definițiile:

 \sigma(n) \; = \begin{cases} \le 2n ,\; numar \; deficient \\ = 2n \; ,numar \; perfect \\ \ge  2n \; , numar \ abundent \end{cases}

Aici apare \bold 2n pentru că printre divizorii care alcătuiesc suma \bold \sigma (n) s-a considerat și numărul însuși.

Euclid, precusor al teoriei numerelor.

Exemple[modificare | modificare sursă]

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8.128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Calculul numerelor perfecte[modificare | modificare sursă]

Euclid a observat că primele patru numere perfecte (menționate mai sus) sunt date de formula:

 2^{n-1}(2^n-1) ,

unde  \bold n ia valorile 2, 3, 5, 7.

Mai mult, Euclid observă că pentru ca

 2^{n-1}(2^n-1)

să fie număr perfect trebuie ca

 2^n-1

să fie număr prim (acestea sunt de fapt numerele prime ale lui Mersenne).

Aproape 2 000 de ani mai târziu, Euler a demonstrat că în acest mod pot fi obținute toate numerele perfecte pare.

Numere perfecte impare[modificare | modificare sursă]

Exitența numerelor perfecte impare constituie una din problemele nerezolvate ale matematicii.

Dacă acestea există, ar trebui să fie foarte mari:

Un astfel de număr ar trebui să satisfacă condițiile[1]:

  • n>10300
  • n este de forma

 n \; = \; q^\alpha {p_1}^{2e_1}{p_2}^{2e_2} \; \cdots \; {p_k}^{2e_k} .

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Articolul lui Carl Pomerance la OddPerfect.org


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Rogai, E - Tabele și formule matematice, Editura Tehnica, București, 1984

Vezi și[modificare | modificare sursă]


Legături externe[modificare | modificare sursă]