Număr perfect

Numărul perfect este un număr întreg egal cu suma divizorilor săi, din care se exclude numărul însuși. Astfel, dacă $n$ este numărul întreg, avem definițiile:

$\sigma(n) \; = \begin{cases} \le 2n ,\; numar \; deficient \\ = 2n \; ,numar \; perfect \\ \ge 2n \; , numar \ abundent \end{cases}$

Aici apare $\bold 2n$ pentru că printre divizorii care alcătuiesc suma $\bold \sigma (n)$ s-a considerat și numărul însuși.

Euclid, precusor al teoriei numerelor.

Exemple

6=1+2+3

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8.128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Calculul numerelor perfecte

Euclid a observat că primele patru numere perfecte (menționate mai sus) sunt date de formula:

$2^{n-1}(2^n-1)$ ,

unde $\bold n$ ia valorile 2, 3, 5, 7.

Mai mult, Euclid observă că pentru ca

$2^{n-1}(2^n-1)$

să fie număr perfect trebuie ca

$2^n-1$

să fie număr prim (acestea sunt de fapt numerele prime ale lui Mersenne).

Aproape 2 000 de ani mai târziu, Euler a demonstrat că în acest mod pot fi obținute toate numerele perfecte pare.

Numere perfecte impare

Exitența numerelor perfecte impare constituie una din problemele nerezolvate ale matematicii.

Dacă acestea există, ar trebui să fie foarte mari:

Un astfel de număr ar trebui să satisfacă condițiile:

• n>10³⁰⁰
• n este de forma

$n \; = \; q^\alpha {p_1}^{2e_1}{p_2}^{2e_2} \; \cdots \; {p_k}^{2e_k}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Rogai, E - Tabele și formule matematice, Editura Tehnica, București, 1984

Vezi și

• Număr abundent
• Număr deficient
• Divizor
• Indicatorul lui Euler

Legături externe

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory