Mulțime conexă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

O mulțime este conexă într-un spațiu topologic dacă nu este reuniunea a două mulțimi nevide și separate. Folosind limbajul obișnuit, o mulțime conexă poate fi descrisă ca fiind o mulțime formată dintr-o singură bucată. De exemplu, intervalele de numere reale sunt mulțimi conexe.

Definiții și caracterizări[modificare | modificare sursă]

Fie (S,d) un spațiu metric.
Se spune despre o mulțime  A \subset \ S că este conexă dacă în S nu există două mulțimi deschise D1 și D2 astfel încât

D_1\cap A\neq\emptyset,D_2\cap A\neq\emptyset, D_1\cap D_2=\emptyset, D_1\cup D_2\supseteq A
  • O mulțime care nu este conexă se numește neconexă. O mulțime deschisă și conexă se numește domeniu.

Dacă o mulțime este conexă într-un spațiu topologic atunci spațiul respectiv este un spațiu topologic conex.

  • O multime A \subseteq \mathbb{R} este conexă dacă și numai dacă este interval.
  • O mulțime nevidă A \subseteq S a unui spațiu metric este conexă dacă și numai dacă orice funcție continuă de forma f:A \to \{0,1\} este constantă.

Altfel spus, o mulțime A este conexă dacă și numai dacă A nu se poate reprezenta ca reuniunea a două mulțimi deschise relativ la A , disjuncte și nevide. Din acest motiv, mulțimile conexe se mai numesc și mulțimi dintr-o singură bucată.

  • Aderența oricărei mulțimi conexe este o mulțime conexă.
  • Fie Á o familie de mulțimi conexe în (S,d) a cărei intersecție este nevidă. Atunci reuniunea sa este de asemenea o mulțime conexă în (S,d).
  • Dacă x \in S, atunci clasa de echivalență care îl conține pe x se numește componenta conexă a punctului x și se notează cu Cx.

Evident, dacă (S,d) este un spațiu topologic conex atunci Cx=S pentru orice x \in S.

  • Fie T o mulțime deschisă în spațiul topologic (S,d). Atunci T este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, deschise și disjuncte T1 și T2 cu T= T_1\cup T_2.
  • Fie F o mulțime închisă în spațiul topologic (S,d). Atunci F este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, disjuncte și închise F1 și F2 cu F= F_1\cup F_2.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur element (singletoanele) sunt conexe în orice spațiu topologic.
  • Mulțimea A={0,1} din \mathbb{R} nu este conexă deoarece există, de exemplu, mulțimile deschise D_1=(-\infty ,\frac{1}{2}) și D_2=(\frac{1}{3},\infty) astfel încât

D_1\cap A\neq\emptyset,D_2\cap A\neq\emptyset, D_1\cap D_2=\emptyset, D_1\cup D_2\supseteq A.

  • Dacă db este topologia banală pe S atunci (S,db) este un spațiu topologic conex.
  • Dacă pe \mathbb{R} se consideră topologia discretă t0, atunci (\mathbb{R}, t0) nu este un spațiu topologic conex.
  • Mulțimea (hiperbola)

 H=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 -y^2 =1\} nu este conexă în (\mathbb{R}^2, d) căci mulțimile deschise  D_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>0\} și  D_2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x<0\} au proprietățile
 (1,0)\in D_1\cap H,(-1,0)\in D_2\cap H, D_1\cap D_2=\emptyset, D_1\cup D_2\supseteq H.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Mihail Megan, Analiză matematică, volumul I, Editura Mirton, Timișoara,1999,pag.152-160
  • Nicolae Cotfas, Liviu Adrian Cotfas, Elemente de analiză matematică, Editura Universității din București, București, 2010, pp. 82-87.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]